Holics László (szerk.)

Fizika


23.1.7.1. Dobozba zárt részecske állapotsűrűsége

A kvantummechanikából tudjuk, hogy ha az m tömegű részecske csak az L oldalélű kockában mozoghat, akkor a részecske energiája csak az
(23.8)
diszkrét értékeket veheti fel. Általában azonban az nx2 + ny2 + nz2 = n2 érték olyan nagy, hogy az energia értékének változása a kvantumszámokkal folytonosnak tekinthető. Ha a kocka makroszkopikus méretű, akkor a szorzó igen kicsiny, így közönséges körülmények között az nx2 + ny2 + nz2 = n2 összeg igen nagy. (Pl. L = 1 cm esetén az m ≈ 5·10–26 kg tömegű nitrogénmolekulára . Mivel szobahőmérsékleten a nitrogénmolekulák átlagos energiája ≈ 10–21 J, adódik, hogy n2 ≈ 1018 nagyságrendű.) Ha ilyen nagy n2 mellett valamelyik kvantumszám 1–2 egységgel megváltozik, akkor az energia csak elhanyagolható mértékben változik. Annak ellenére tehát, hogy mind n2, mind E csak diszkrét értékeket vehet fel, az egyes energiaértékek olyan sűrűn követik egymást, hogy az E(n2) függvényt folytonosnak tekinthetjük.
Fejezzük ki az energiával n2-et az összefüggésből! Azt kapjuk, hogy
(23.9)
Az nx, ny, nz értékeket derékszögű koordináta-rendszerben egy-egy pont koordinátáinak tekintve megállapítható, hogy az adott E energiánál kisebb energiájú állapotoknak megfelelő P(nx, ny, nz) pontok az sugarú gömb belsejében vannak (23.3. ábra).
23.3. ábra
Ennek megfelelően az E-nél kisebb energiájú állapotok Φ(E) száma megegyezik az n sugarú gömb pozitív térnyolcadába eső egész koordinátájú pontok számával. Az egész koordinátájú pontok egységnyi térfogatú kockákat határolnak. Így adott térrészbe eső egész koordinátájú pontok száma jó közelítéssel megegyezik a kiválasztott térrész térfogatával. Tehát esetünkben:
(23.10)
Az E és E + δE közé eső állapotok száma az sugarú gömb fölött elhelyezkedő gömbréteg térfogatának nyolcadrésze. Az R sugarú, ΔR vastagságú gömbréteg térfogata 4R2πΔR, tehát az E és E + δE közé eső állapotok száma:
(23.11)
Az energia δE megváltozása miatt bekövetkező Δn változás a
(23.12)
összefüggéssel közelíthető. (A közelítéshez felhasználtuk, hogy kicsiny x-re .)
Következésképpen
(23.13)
Látható tehát, hogy Y(E) az energiának növekvő függvénye. Ugyanakkor megállapítható az is, hogy az energia mellett valóban függ a doboz V = L3 térfogatától is. Y(E) az közelítés közvetlen felhasználásával is megkapható a függvényből.
Vegyük észre továbbá, hogy bár az állapotsűrűség meghatározásakor a kvantummechanikai leírásból indultunk ki, lényegében a klasszikus határesetre vonatkozó számítást végeztünk. Megállapítottuk ugyanis, hogy a rendszer energianívói olyan sűrűn helyezkednek el, hogy az energiát folytonosnak tekinthetjük. Így az E és E + δE energiaintervallumba eső állapotok számát lényegében az adott makroállapothoz tartozó fázistér tartomány térfogatával határoztuk meg.

Fizika

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2017

Nyomtatott megjelenés éve: 2009

ISBN: 978 963 454 046 5

A könyv alapmű, az érettségire, felvételire készülő középiskolások, a felsőoktatásban fizikát hallgatók, illetve tanáraik, oktatóik kipróbált segédeszköze. Sikerének titka a legváltozatosabb olvasói rétegek igényeihez szabott letisztult tárgyalásmódja, áttekinthető, arányos szerkezete és bőséges szemléltető ábraanyaga. A szerzők világosan bemutatott axiómákból és alapfogalmakból indulva lépésről lépésre vezetik le a fizikai törvényeket és összefüggéseket. Az első három főfejezet a klasszikus fizikát (mechanika, termodinamika, elektrodinamika és optika), a továbbiak a modern fizikát (relativitáselmélet, atomfizika és kvantummechanika, sokrészecske-rendszerek leírása, anyagszerkezettan, magfizika, elemi részek és az univerzum) tárgyalják; a tájékozódást név- és tárgymutató segíti. A mostani kiadást a modern gyakorlati alkalmazásokkal foglalkozó, új fejezetek és a teljesen felújított, közel 900 ábrából álló képanyag teszi valóban korszerűvé. A fizika története egyidős az emberi gondolkodáséval. Az emberiséggel együtt fejlődő tudományág mindennapjainkba régóta beépült eredményeit és izgalmas új felfedezéseit összefoglaló kézikönyvet jó szívvel ajánljuk vizsgára készülőknek, egykori vizsgázóknak, a fizika barátainak és minden természettudományos érdeklődésű olvasónak.

Hivatkozás: https://mersz.hu/holics-fizika//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave