Kerékgyártó Györgyné, L. Balogh Irén, Sugár András, Szarvas Beatrix

Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági és társadalmi elemzésekben - Gyakorló feladatok

10. fejezet

14 FIAT típusú gépkocsi adatai alapján vizsgálták az alábbi változók közötti összefüggést:

Y: gyorsulás (mp/100 km/h)

X1: a gépkocsi össztömege (kg)

X2: a gépkocsi teljesítménye lóerőben (LE)

Modell neve	össztömeg, kg	teljesítmény, LE	gyorsulás, mp/100 km/h
Seicento 1,1	735	54	14,5
Panda 1,1	840	54	15
Panda 1,2	860	60	14
Albea 1,2	1040	76	13,5
Punto 1,2	920	80	11,4
Punto 1,9	1040	85	12,2
Punto 1,4	960	95	9,6
Stilo 1,4	1090	95	12,2
Albea 1,6	1107	103	10,8
Stilo 1,6	1195	103	10,5
Doblo panorama 1,9	1320	105	12,4
Multipla 1,9	1370	105	12,4
Stilo 1,9	1265	115	10,3
Barchetta 1,8	1060	130	8,9
átlag	1057,29	90	11,98
szórás	179,56	22,16	1,78

Néhány számítási eredmény:

X′X=[141480212601480216101324137527112601375271120276] X′y=[167,7175350,114618,4] (X′X)−1X′y=[15,42270,00561−0,1042]

(X′X)−1=[2,59122−0,002720,00396−0,002725,515E−06−3,456E−050,00396−3,456E−050,000362] R=[1−0,4381−0,860910,77351]

Σ(y−y ¯)2=44,2 Σ(y^−y ¯)2=38,5Σ(y−y^)2=5,7 Σy2=2053,01

Feladat:

Írja fel a háromváltozós lineáris regresszió egyenletét, és értelmezze a paramétereket!
Határozza meg és értelmezze a többszörös determinációs együtthatót!
Írja fel a varianciaanalízis táblát, és értékelje a regressziós modellt 5%-os szignifikancia szinten!
Tesztelje a β1 és β2 paraméterek szignifikanciáját külön-külön (α = 5%)!
Becsülje meg 95%-os biztonsággal
- a 100 lóerős, 1000 kg-os gépkocsik átlagos gyorsulását, illetve
- egy 100 lóerős, 1000 kg-os gépkocsi várható gyorsulását!
Számítsa ki a gépkocsi teljesítménye (lóerő) szerinti rugalmassági együtthatókat az 1000 kg-os, 100 LE-s autókra, illetve az átlagos súlyú és átlagos teljesítményű autókra!
Határozza meg és értelmezze a parciális korrelációs együtthatókat!
Jellemezze a multikollinearitást!

Az Antik Kft régi festmények eladásával foglalkozik. Az elmúlt év árveréseiből véletlenszerűen kiválasztott 25 festmény jellemzői:

Y : a festmény eladási ára, 1000 Ft

X1: a festmény életkora, év

X2: a képre licitálók száma, fő

X3: magyar vagy külföldi a festő (X3=1, ha magyar, 0 ha külföldi)

Számítási eredmények: β^′=[3,4 6,86 52,4 125](X′X)−1′=[1,842724−0,008460,000059−0,05212−0,000030,005748−0,170990,0006760,000380,174498]SSE=∑e2=1805352 ∑dY2=3145836

Feladat:
1. Értelmezze a regressziós együtthatókat!
2. Tesztelje együtt és parciálisan a paramétereket (α=0,05)!
3. Számítsa ki és értelmezzük a reziduális szórást, a determinációs és a többszörös korrelációs együtthatót!
Egy piackutatás során 200 háztartást kérdeztek meg, hány liter tejet vettek az előző hónapban. A megfigyelt változók:

Y : Vásárolt tej mennyisége, liter,

X1: Egy főre jutó jövedelem, ezer Ft/hónap

X2: A vásárolt alkohol mennyisége tiszta szeszben, l/hónap

Részeredmények: Az (X′X)−1mátrix diagonális elemei: <0,95, 0,046, 0,16> ∑e2=18,7

R=[10,681−0,210,451] β=[−2,11,3−0,4]

Feladat:
1. Értelmezze az eredményeket!
2. Tesztelje 5%-os szignifikancia-szinten a paramétereket!
3. Számítsa ki és értelmezze a parciális korrelációs együtthatókat!
10 elemű véletlen minta alapján tesztelték hogy milyen összefüggés van egy adott tárgyból írt zárthelyi dolgozat eredménye (Y, %), a felkészülési idő (X1, óra), és az intelligencia hányados (X2, IQ érték) között.

Sorsz
1

2
3

4
5

6
7

8
9

10

Y
56

44
79

72
70

54
94

85
33

65

X1

8
5

11
13

10
5

18
15

2
8

X2

98
99

118
94

109
116

97
100

99
114

Feladat:
1. Becsülje meg a lineáris regresszió paramétereit, tesztelje szignifikanciájukat együttesen és parciálisan!
2. Készítsen 95%-os konfidencia intervallum becslést a 12 órát tanuló 105-ös IQ-val rendelkező személyek átlagos eredményére!
3. Állítsa össze a korrelációs mátrixot, számítsa ki és értelmezze a parciális korrelációs együtthatókat!
4. Készítse el a reziduum homoszkedaszticitás ellenőrzésére vonatkozó ábráját, és értékelje azt!
Egy szabadidő park 40 napon keresztül figyeli az alábbi változók értékét:

Y : Látogatók száma, fő

X1: Hőmérséklet C°

X2: 0, ha hétköznap, 1, ha hétvége volt

Az időjárást X3, X4 változóval kifejezve, ahol

X3 = 1, ha esett, 0 ha sütött a nap,

X4 = 1, ha borult volt, de nem esett, 0 ha sütött a nap

A becslések néhány eredménye: y^=384+124x1+401x2−274x3−361x4

(X′X)−1=[0,000251−0,001390,132895−0,00409−0,009230,126939−0,002960,0092970,0229670,097312−0,001310,006780,0011690,041510,081221]

SSR=13372617 SSE=414984 d=1,89

Feladat:
1. Értelmezze a regressziós paramétereket!
2. Tesztelje külön-külön 5%-os szignifikancia-szinten a βj paraméterek szignifikáns különbözőségét a 0-tól!
3. Számítsa ki és értelmezze a többszörös korrelációs együtthatót!
4. Tesztelje 5%-os szignifikancia-szinten, igaz-e az a nullhipotézis, hogy a reziduumok között nincs elsőrendű pozitív autokorreláció!
5. Mennyire lehet itt veszélyes a multikollinearitás és miért? (A kérdésre logikai alapon válaszoljon, számításokat nem kell végeznie.)
Egy 20 elemű minta alapján vizsgálták az időskori agyvérzés kockázatát, % a vizsgálatot követő öt évre (Y) az életkor, év (X1), a szisztolés vérnyomás, Hgmm (X2) és a dohányzás (X3 = 1, ha dohányzik; X3 = 0, ha nem dohányzik) összefüggésében.

A regressziószámítás néhány főbb eredménye: y^=−91,8+1,08x1+0,252x2+8,74x3

SST=4190,9 SSR=3660,7 se=5,757

X′X=[2013893142101389982232163707333142216370513838162410733162410]

(X′X)−1=[6.99292−0.06896−0.015610.59643−0.068960.000830.00010−0.00741−0.015610.000100.00006−0.001390.59643−0.00741−0.001390.27174]

x*′=[1 60 160 1] x*′(X′X)−1x*=0,2535

Y X1 X2 X3R−1=[7.90431−5.51060−4.37303−2.38615−5.510605.302143.615600.96920−4.373033.615603.667980.87919−2.386150.969200.879192.07902]

X1 X2 X3R−1=[1.460350.56689−0.694330.566891.24862−0.44094−0,69433−0.440941.35869]

Feladat:
1. Értelmezze a parciális regressziós együtthatókat!
2. Tesztelje le 5%-os szignifikancia szinten
  1. a regressziós modell alkalmazhatóságát,
  2. a parciális regressziós együtthatók szignifikanciáját!
3. Készítse el a kockázati tényező 95%-os megbízhatóságoz tartozó intervallumát egy olyan időskorú esetére, aki 60 éves, 160 a vérnyomása és dohányzik!
4. Számítsa ki és értelmezze
  1. a többszörös determinációs és korrelációs együtthatót,
  2. a parciális korrelációs együtthatókat!
5. Számítsa ki és értékelje az X1 változóra a multikollinearitás mérőszámát!