Ha valaki szerzett már némi jártasságot egyszerű Turing-gépek készítésében, akkor könnyen meggyőződhet arról, hogy a különféle aritmetikai alapműveletek, mint két szám összeadása vagy összeszorzása, egy szám hatványozása, speciális Turing-gépekkel valóban végrehajthatók. Nem túl nehéz explicit módon megadni ilyen gépeket, de most nem fogok ezzel bajlódni. El lehet végezni olyan műveleteket is, ahol az eredmény egy természetes számpár, ilyen a maradékos osztás – vagy olyanokat, amelyek eredménye számok egy tetszőlegesen nagy véges sorozata. Még továbbmenve, olyan Turing-gépeket is lehet készíteni, amelyeknél nincs előre rögzítve, milyen aritmetikai műveletet kell végrehajtani, de az erre szolgáló utasítások rajta vannak a szalagon. Lehet, hogy valamelyik lépésben az éppen elvégzendő művelet függ valamelyik olyan számítás eredményétől, amelyet a gépnek egy korábbi szakaszban kellett elvégeznie. („Ha ennek a számításnak az eredménye nagyobb, mint ez és ez, akkor csináld ezt; egyébként csináld azt.”) Ha egyszer meggyőződtünk arról, hogy lehet olyan Turing-gépeket csinálni, amelyek aritmetikai vagy egyszerű logikai műveleteket végrehajtanak, akkor könnyebben el tudjuk képzelni, hogyan lehet velük bonyolultabb, algoritmikus természetű feladatokat elvégeztetni. Ha az ember játszott már ilyen dolgokkal, akkor könnyen megnyugszik abban, hogy egy effajta géppel bármilyen mechanikus műveletet el lehet végeztetni! Ésszerűnek látszik matematikailag úgy definiálni egy mechanikus műveletet, mint amit egy ilyen gép végre tud hajtani. Az „algoritmus” főnevet és a „kiszámítható”, „rekurzív” és „végrehajtható” mellékneveket a matematikusok mind az olyan mechanikus műveletek megjelölésére használják, amelyeket ilyen típusú elméleti gépekkel – a Turing-gépekkel – végre lehet hajtani. Amennyiben egy eljárás elég világos és mechanikus, akkor joggal gondolhatjuk, hogy valóban lehet találni olyan Turing-gépet, amely végrehajtja azt. Ez volt végül is a lényege bevezető fejtegetésünknek (azaz Turingénak), ez motiválja magát a Turing-gép fogalmát.