Kerékgyártó Györgyné, L. Balogh Irén, Sugár András, Szarvas Beatrix

Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági és társadalmi elemzésekben - Képletek és táblázatok

10. Többváltozós regresszió- és korrelációszámítás

1. Többváltozós lineáris regresszió Y=β0+β1X1+β2X2+…+βmXm+ϵ y=Xβ+ϵ
ahol: y = a függő váltzó (n⋅1)-es oszlopvektora;X = a magyarázó változók [n⋅(m+1)] -ed rendű mátrixa;ϵ= a hiba tényező (n⋅1)-es oszlopvekrora;β= a becsülni kívánt paraméterek [(m+1)⋅1]-es oszlopvetora.
2. A regressziós együtthatók becslése: β^=(X′X)−1X′y Becsült paraméterek variancia:var(β^)=σ2(X′X)−1σ becslése:σe=Σe12n−m−1, ahol ei=yi−y^i
3. Paraméterek szignifikanciájának tesztelése H0:βm=0H1:βm≠0 t=β^σ(β^m)
4. Az elméleti paraméterek konfidencia intervalluma β^m±t1−α/2α(β^m) szbadságfok:n-m-1
5. Konfidencia intervallum számítás
Feltételes várható értékrex′β^±t1−α/2⋅σex′0(X′X)−1x0			Egyedi értékrex′0β^±t1−α/2⋅σe1+x10(X′X)−1x0
6. Globális F próba H0:β1=β2=…βm=0H1:létezik olyan j, melyre βj≠0
Variancia-analízis tábla
A variancia eredete	Négyzetösszeg (SS)		Szabadságfok (df)		Átlagos négyzetösszeg (MS)
Regresszió	∑(Y^−Y ¯)2		m		Σ(Y^−Y ¯)2/m
Hibatényező	∑(Yi−Y^i)2		n−m−1		Σ(Yi−Y^i)2/(n−m−1)
Együtt	∑(Yi−Y ¯)2		n−1
F=SSR/mSSE/(n−m−1)=MSRMSE=n−m−1m⋅R21−R2
7. Többszörös determinációs együttható R2=SSRSST=SST−SSESST=1−SSESST
8. Korrelációs mátrix YX1X2XjXmYX1X2R=XjXm[1ry1ry2⋯ryj⋯rymr1y1r12⋯r1j⋯r1mr2yr211⋯r2j⋯r2m⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮rjyrj1rj2⋯1⋯rjm⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮rmyrm1rm2⋯rmj⋯1]			9. Korrelációs mátrix inverze R−1=[PYYPY1⋯PYj⋯PYmP1YP11⋯P1j…P1m⋮⋮⋮⋮⋮⋮PjYPj1⋯Pjj⋯Pjm⋮⋮⋮⋮⋮⋮PmYPm1⋯Pmj⋯Pmm]
10. Parciális korrelációs együtthatók háromváltozós modellben
ry1.2=ry1−ry2⋅r12(1−ry22)(1−r122)		ry2.1=ry2−ry1⋅r12(1−ry12)(1−r122)		r12.y=r12−ry1⋅ry2(1−ry12)(1−ry22)
11. Többszörös korrelácós együttható háromváltozós modellben Ry.12=ry12+ry22−2ry1ry2r121−r122.
12. Parciális korrelációs együtthatók ryj.1,2,…,(j−1),(j+1),…,m=−PyjPyyPjj
13. Többszörös korrelációs és determinációs együttható Ry.12…m=1−1Pyy. Ry.1, 2, … , m2=1−1Pyy.
14. Multikollinearitás mérőszáma VIFj=11−Rj2
15. Minőségi ismérvekkel bővített regressziós modell Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+ϵ
ahol =1X1=0 két változattal rendelkező ismérv kezelése			X2=0X3=0X2=1X3=0X2=0X3=1 három változattal rendelkező ismérv kezelése
16. Logisztikus regressziós függény lnPi1−Pi=β0+β1⋅X1+…+βmXm+ϵ
17. Korrigált többszörös determinácós együttható R ¯2=1−n−1n−m−1(1−R2)