Válts MeRSZ+ -ra!

MeRSZ online
okoskönyvtár

Több száz tankönyv egy helyen.
Online. Bárhol. Bármikor.

Kovács Róbert, Józsa Viktor

Bevezetés a numerikus módszerekbe

12.2. Megoldás VDM segítségével

  1. Készítsük el a feladatot véges differencia módszer segítségével, jelen feladatban Microsoft Excel-t használunk a célra! A probléma minden további nélkül más környezetben is megoldható, például Matlab-ban, google docs-ban stb.
  2. Mivel a probléma gömbi koordináta-rendszerben egyszerűbben kezelhető, a Laplace-operátor így módosul általános esetben a derékszögű koordináta rendszerhez képest:
    ∆T=∂2T∂r2+2r·∂T∂r+1r2·∂2T∂φ2+ctgφr·∂T∂φ+1r2·sin2φ·∂2T∂ϑ2
    (12.1)
     
  3. Kihasználjuk a gömbszimmetriát (tehát a szögek szerinti deriváltak zérus értékűek lesznek), így (12.1) a következőképpen módosul:
    ∆T=∂2T∂r2+2r·∂T∂r
    (12.2)
     
  4. A hővezetés általános differenciálegyenletében alkalmazva a következőt kapjuk (szilárd testre, hőforrásmentes esetre, izotróp anyagra, csak a hővezetés jelenségét figyelembe véve).
    ∂T∂τ=a·∂2T∂r2+2r·∂T∂r
    (12.3)
     
    Diszkretizáljuk az (12.3) egyenletet, melynek bal oldalát előre haladó sémával, a jobb oldalát centrális sémával közelítjük:
    Ti,k+1-Ti,k∆τ=aTi-1,k-2Ti,k+Ti+1,k∆r2+2r·Ti+1,k-Ti-1,k2·∆r
    (12.4)
     
    ahol i az egydimenziós geometria térbeli, k az időbeli lépést jelenti. A séma származtatását és matematikai tulajdonságait a jegyzet elmélettel foglalkozó része tartalmazza. Így (12.4) alapján meghatározható adott helyen a következő időlépés után vett hőmérséklet a következő módon:
    Ti,k+1=a·∆τTi-1,k-2Ti,k+Ti+1,k∆r2+2r·Ti+1,k-Ti-1,k2·∆r+ Ti,k.
    (12.5)
     
  5. Alkalmazzuk a feladatban megadott harmadfajú peremfeltételt a falra:
    α·T∞-Tw=-λ·∂T∂r,
    (12.6)
     
    ahol a gömbszimmetrikusság miatt a gradiensnek csak sugárirányú komponense lesz. (12.6)-ban leírt peremfeltétel a diszkretizálását a (12.7)-ben leírtak szerint alkalmazzuk a korábbi gyakorlatnak megfelelően egy virtuális külső csomópont (segédpont) létrehozásával. Erre azért van szükség, hogy a gradiens operátort tudjuk használni úgy, hogy a belső pontokra nem írunk fel hőáramra vonatkozó kényszert, ezt a segédpontra írjuk elő:
    Tw,k=α·∆rλ·T∞+Tw-1,kα·∆rλ+1.
    (12.7)
     
    A (12.5) diszkretizációt a fal pontjára felírva, (12.7)-et Tw-1,k-ra rendezve a segédpont kiejthető. Ekkor az előzőekhez hasonlóan ügyelnünk kell a stabilitásra.
     
  6. Vegyük figyelembe, hogy a gömb középpontosan szimmetrikus, tehát ebben a pontban a hőáram zérus, így a belső és a közvetlen mellette lévő pontok hőmérséklete meg fog egyezni minden időlépés esetén, így (12.5)-ben egyúttal elkerüljük a szingularitást, ahol a 2/r tag okozna problémát! Tehát:
    Tr=0,k=Tr-1,k.
    (12.8)
     
    Már csak a kezdeti feltételre lesz szükségünk, ami homogén módon 30 °C.
  7. A hálófüggetlenségi vizsgálat során beláttuk, hogy a 15 mm-es elemméret elégséges, azonban az egydimenziós feladatot 5 mm-es osztással oldottuk meg, ami a 12.9. ábrán látható. Hasonlítsuk össze a hőmérséklet-lefutást a végeselemes módszerrel kapott eredményekkel, ezt a 12.10. ábra szemlélteti.
     
    12.9. ábra. Véges differencia módszerrel a feladat megoldása Excel környezetben
     
  8. Számítsuk ki a 12.10. ábra alapján, hogy az egyes esetekben mennyi idő szükséges az alma belső pontjának 10 °C-ra való lehűtéséhez, majd értékeljük a kapott eredményeinket!VEM és VDM esetében keressük meg azt az időpillanatot lineáris interpoláció segítségével, ahol már a kívánt 10 °C hőmérséklet alá hűlt az alma!
     
    12.10. ábra. A maximális hőmérséklet időbeli lefutása
     
    Az időfüggetlenségi vizsgálat eredményeképp látható, hogy VEM segítségével az automatikushoz képest a 48 másodperces időlépés gyorsabb lehűlést eredményez. Azonban a leggyorsabb lehűlést a VDM segítségével kaptuk. Ennek oka a numerikus módszerben keresendő, hiszen az alkalmazott megoldási módszer nem határozhatja meg a fizikai folyamatot, ami az alma hőátadáson keresztüli lehűlése. A három számítás alapján a középpont 10 °C alá hűléséhez a következő időtartamra van szükség:
    • VEM – automatikus időlépés (dinamikusan változó): 24347 s,
    • VEM – 48 s: 22376 s,
    • VDM – 48 s: 21479 s.
     
    Nézzük az analitikus közelítő összefüggés alapján az eredményt [31] alapján!
Bevezetés a numerikus módszerekbe

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2019

ISBN: 978 963 454 335 0

Műszaki tudományokBME GPK tankönyvek

Ez a jegyzet elsősorban a Kalorikus Gépek Numerikus Szimulációja tantárgy előadásaihoz tartozó segédanyagként készült szakdolgozat előtt álló BSc mérnökhallgatók számára.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kovacs-jozsa-bevezetes-a-numerikus-modszerekbe//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero
Kivonat
fullscreenclose
printsave