Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika


Műveletek függvények között

Két függvény egyenlő, ha értelmezési tartományuk megegyezik, és az értelmezési tartomány ugyanazon eleméhez a képhalmaz ugyanazon elemét rendelik.
Példa. Vizsgáljuk meg a következő három függvényt! Melyek egyenlők?
Ekkor f ≠ g, mivel nem egyezik meg az értelmezési tartományuk, viszont f = h.
Az f : A → B leképezésnek a CA részhalmazra vett leszűkítése az az f | c : A → B függvény, amelyik a C halmazon megegyezik az f leképezéssel: ∀xC : f|C(x) = f(x).
Legyen f : A → B, CA és g : C → B. Ha az f és g függvények egyenlők a C halmazon, akkor f-et a g függvény (C-ről A-ra való) kiterjesztésének mondjuk.
Megjegyzés. Ha f a g függvény (C-ről A-ra való) kiterjesztése, akkor a g függvény az f : A → B leképezésnek a C ⊆ A részhalmazra vett leszűkítése.
Példák
  1. Az előző példában az f a g leképezésnek az R \{–1} halmazra vett leszűkítése, és a g pedig a h függvény R halmazra vonatkozó kiterjesztése.
  2. Az általános iskolában a hatványozást csak (pozitív) egész kitevőre szokás tanítani, majd a középiskolában terjesztik ki a racionális kitevőre. Az xan, n ∈ Z függvény kiterjesztése a racionális számok halmazára az xar, r ∈ Q függvényt eredményezi.
Ha A, B, C, D nem üres halmaz, és g : A → B, xg(x), f : C → D, xf(x), és RgC, akkor g és f egymás utáni alkalmazását f és g kompozíciójának nevezzük (15.12. ábra). Jele: f ○ g : A → D, xf(g(x)).
Megjegyzés. f ○ g általában nem egyenlő g ○ f-fel. Az f ○ g függvényt szokás összetett függvénynek is nevezni.
15.12. ábra
H-nak önmagára való olyan leképezését, melynél ∀ elem képe önmaga, H identikus leképezésének nevezzük. Jele: idH : H → H, xx.
f : H → H leképezés esetén: idH ○ f = f ○ idH = f.
Legyenek f : R → R, g : R → R függvények.
Ekkor (f + g) függvényt f és g összegfüggvényének nevezzük, és (f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀ x ∈ D(f + g) esetén, ahol D(f + g) := D(f) ∩D(g).
Az (f – g) függvényt f és g különbségfüggvényének nevezzük, és (f – g)(x) := f(x) – g(x), ∀ x ∈ D(f – g) esetén, ahol D(f – g) := D(f) ∩D(g).
Az (α · f) függvényt konstansszoros függvényének nevezzük, és (α · f)(x) := α · f(x), ∀ x ∈ D(α · f) esetén, ahol D(α · f) := D(f).
Az (f · g) függvényt f és g szorzatfüggvényének nevezzük, és (f · g)(x) := f(x) · g(x), ∀ x ∈ D(f · g) esetén, ahol D(f · g) := D(f) ∩D(g).
Az függvényt f és g hányadosfüggvényének nevezzük, és
Megjegyzés. Érdemes felfigyelni arra, hogy az hányadosfüggvény pontosan azokban a pontokban értelmezhető, amikben a g függvény nem nulla, és persze f és g is értelmezve van. A többi függvényművelet esetében csupán arra kell odafigyelnünk, hogy csak azokban a pontokban tudjuk értelmezni az új függvényeket, ahol f is és g is értelmezve van.
Az f függvényt invertálhatónak nevezzük, ha injektív.
Megjegyzés. Ha valamely f : A → B függvény esetében a hozzárendelés irányát megfordítva B-t A-ba leképező függvényt kapunk, akkor az f függvényt invertálhatónak, a kapott f–1 : B → A függvényt f inverz függvényének nevezzük (15.13. ábra).
A függvény értékkészlete megegyezik az inverzének az értelmezési tartományával. Az inverz függvény értékkészlete megegyezik a függvény értelmezési tartományával.
Ha f függvény invertálható, akkor f–1f = idA, f ○ f–1 = idB.
15.13. ábra
Ha f függvény invertálható, akkor annak inverze is invertálható, és (f–1)–1 = f.
Példa. Az f(x) = x2 függvény invertálható a értelmezési tartományon. A függvény inverz függvénye , mert minden x ∈ Df esetén fennáll, hogy . Felhasználtuk, hogy ha xR+0, akkor |x| = x.
Megjegyzés. Bármely függvény görbéjét tükrözve az xx identitásfüggvény egyenesére mint tengelyre az inverz függvényének képét kapjuk.
Legyen f függvény, az A halmaz pedig f értelmezési tartományának valamely része.
Ekkor f(A) = {y ∈ Rf | ∃x ∈ A : y = f{x)} halmazt A f szerinti képének nevezzük.
Legyen f függvény, a B halmaz pedig f értékkészletének valamely része.
Ekkor az f–1 (B) = {x ∈ Df | f(x) ∈ B} halmazt B f szerinti ősképének nevezzük.
Megjegyzés. Ha h(x) = f(g(x)), akkor Dh = Dg ∩g–1(Df).

Matematika

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2016

Nyomtatott megjelenés éve: 2010

ISBN: 978 963 059 767 8

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave