Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika


Forgástestek térfogata

Legyen f: [a, b] → R függvény folytonos [a, b]-n, és legyen f ≥ 0! Képzeljük el az f függvény grafikonját a kétdimenziós koordináta-rendszerben (x tengely és y tengely), és vegyük hozzá a z tengelyt, hogy térbeli koordináta-rendszerünk legyen.
Az f függvény által meghatározott forgástesten a tér azon (x, y, z) koordinátájú pontjait értjük, melyekre teljesül, hogy
A forgástestet szemléletesen úgy kapjuk, hogy az f függvény grafikonját a térbeli koordináta-rendszerben megforgatjuk az x tengely körül (18.15. ábra).
18.15. ábra
Ha f: [a, b] → R függvény folytonos [a, b]-n, és f ≥ 0, akkor az f függvény által meghatározott forgástest térfogata a következő formulával számítható ki:
Megjegyzés. Az állításban a feltételeket úgy határoztuk meg, hogy f2 minden esetben integrálható legyen.
Példák
  1. Kúp és csonka kúp térfogata.
    Adjuk meg az f(x) = 3x által meghatározott forgástest térfogatát a [0, 5] és a [2, 5] intervallumban (18.16. ábra)!
    18.16. ábra
    Ha f grafikonját megforgatjuk az x tengely körül, akkor ha a [0, 5] intervallumon nézzük a forgástestet, akkor egy kúpot kapunk, melynek magassága 5, alapkörének sugara pedig 3·5. Ha pedig a [2, 5] intervallumon vizsgáljuk a forgástestet, akkor csonka kúpot kapunk, melynek magassága 3, és az alapkörének sugara 15, míg a fedőlap körének sugara 6. Nézzük meg mi lesz a kúp térfogata:
    A csonka kúp térfogata:
  2. Gömb térfogata.
    Adjuk meg az függvény által meghatározott forgástest térfogatát a [–r, r] intervallumban! Ez az f függvény az origó középpontú, r sugarú kör felső körívét adja meg, mint azt már láthattuk az előbbi részeknél. Ha tehát megforgatjuk a függvény grafikonját az x tengely körül, akkor az r sugarú gömböt kapjuk.
    Számítsuk ki ennek a testnek a térfogatát:

Matematika

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2016

Nyomtatott megjelenés éve: 2010

ISBN: 978 963 059 767 8

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave