Amellett fogok érvelni, hogy egy koherens fizikalista ontológiára épülő, általam fiziko-formalista matematikafilozófiának nevezett megközelítés tükrében, a „végtelen” semmivel nem nagyobb probléma, mint a „kettő”.

 

 

It will be argued that ‘infinity’ is not more problematic than, say, ‘two’, if the fundamental ontological doctrine of physicalism is accepted. The argument will be based on what I call the physico-formalist philosophy of mathematics.

 

 

 

 

 

 

1. Tézisem egyetlen mondatban foglalható össze: A „végtelen” semmivel nem nagyobb probléma, mint mondjuk a „kettő”. Ennek belátásához azonban nagyon messziről leszek kénytelen elkezdeni fejtegetéseimet. Hogy a megfelelő kiindulópontra állhassunk, máris pontosítom magát a tézist: Ha elfogadjuk azt a tézist, hogy a világban semmi más nem létezik, mint a partikuláris fizikai entitások – nevezzük ezt a feltételezést fizikalista ontológiának –, és ha ezt a tézist kitartó következetességgel visszük végig filozófiai elméleteinken, akkor arra a konklúzióra fogunk jutni például, hogy a „végtelen” semmivel nem nagyobb probléma, mint a „kettő”. Nem az a célom ebben a cikkben, hogy a fizikalizmus mellett érveljek, hanem hogy megmutassam, hogyan lehet koherens módon számot adni néhány, a filozófiai megfontolásainkban fontos szerepet játszó dologról a fizikalista feltevés mellett. Annyit viszont közölnöm kell, hogy mit értek fizikai entitásokon. Egyszerűen azokat az entitásokat, amelyeket a szokásos filozófiai diskurzusban fizikai entitásoknak szokás nevezni: elemi részecskék, mezők és ezekből összeálló objektumok, bolygók, biliárdgolyók, gázok stb. Szemben olyasmikkel, amiket ugyanezen hagyomány szerint nem fizikai entitásoknak szokás gondolni, vagyis a mentális és absztrakt entitásokkal: gondolatok, ideák, számok stb.

 

2. Elsőként azt a kérdést fogom vizsgálni, hogyan értelmezhetők a logikai, illetve matematikai tények a fizikalista ontológia keretén belül. Kiindulópontom a formalista matematikafilozófia lesz. Számos ok közül mindenekelőtt azért, mert a négy standard matematikafilozófiai felfogásból kettőt, a matematikai platonizmust és az intuicionizmust vagy más néven mentalizmust, azonnal kizárhatunk, hiszen e tanok szerint a matematika valami olyasmikről szóló diszciplína lenne, melyek létezését a fizikalizmus tagadja. A John Stuart Mill-féle immanens realizmus szerint pedig a matematika lényegében egy, a fizikai világról szóló elmélet lenne. A későbbiekben lesz szó arról, hogy mi egy ilyen elmélet struktúrája, és mik a rekvizitumai, és nyilvánvaló lesz, hogy a matematika önmagában nem rendelkezik ezekkel a rekvizitumokkal.

 

 

3. Egyesek szerint pontosan az a formalista matematikafilozófia erénye, hogy nem implikál semmiféle ontológiai elköteleződést. Ez szó szerint véve igaz, bár a formalista matematikafilozófia különböző iskolái alapvetően tagadják a platonista, illetve mentalista értelemben vett matematikai entitások létezését (Weir, 2015). Ugyanakkor nem világos, hogy mit kínálnak helyette, és jellemzően ambivalens válaszokat adnak az ontológiai kérdésekre:

 

„Bár egy formális rendszer különböző formákban reprezentálható, a tételek, melyeket egy adott szimbolikus megfogalmazásban (primitive frame) levezetünk, igazak maradnak a konkrét reprezentáció megváltoztatásától függetlenül. Valamilyen értelemben tehát létezik a szimbolikus megfogalmazástól független formális rendszer mint a gondolkodás egyértelműen meghatározott tárgya. Ez nem jelenti azt, hogy létezne egy hiposztazált, formális rendszernek nevezett entitás, amely mindenféle reprezentációtól függetlenül létezik. Ellenkezőleg, nem is vagyunk képesek elképzelni egy formális rendszert másként, csak valamilyen reprezentációban. Ám amikor úgy gondolunk rá mint formális rendszerre, akkor elvonatkoztatunk a reprezentáció partikuláris tulajdonságaitól. Az ember képes arra, hogy teljesen konkrét dolgokról absztrakt módon gondolkodjon, és ahhoz, hogy erről a jelenségről számot adjunk, semmi szükségünk misztikus absztraktumok kitalálására.

 

A mi célunk ezzel szemben éppen az, hogy elhelyezzük a formalista matematikát, vagyis a formális rendszereket, a fizikalista ontológiai képben. Hol vannak a fizikai világban azok a tényállások, melyek a „Σ ⊢ A” típusú állításokat igazzá vagy hamissá teszik? Például, mik azok a fizikai tények, melyek az 1. ábrán az (1)–(9) formulasorozatot bizonyítássá teszik? Miben áll például az a tény, hogy az (1) formula nem más, mint a (G2) axióma? Ez azt jelenti, hogy az (1) sorban álló p(e,x) = x formula ugyanaz, mint a p(e,x) = x formula a (G2) sorban. De mit is jelent ez? Azt a fizikai tényt, hogy a folyóirat lapján a fekete és fehér pixelek elhelyezkedése a két formulában azonos, vagyis kongruens egymással. Mit jelent az, hogy a Ɐxp(e,x) = x formula a (2) sorban a p(e,x) = x formulából nyerhető a (G) generalizáció alkalmazásával? Ez azt a fizikai tényt jelenti, hogy a ϕ pixel-konfigurációt ϕ ⊢ Ɐxϕ-ben a p(e,x) = x pixel-konfigurációval helyettesítve – például copy/paste segítségével a komputeremen – azt kapjuk, hogy p(e,x) = x ⊢ Ɐxp(e,x), melyben a ⊢ jel előtti rész kongruens a p(e,x) = x pixel-konfigurációval az (1) sorban, a ⊢ jel utáni rész pedig kongruens a Ɐxp(e,x) = x pixel-konfigurációval a (2) sorban. És így tovább. Ami fontos számunkra, az az, hogy ezek mind a fizikai világ tényei, és hogy ezekhez a tényekhez történő episztemikus hozzáférésünk semmiben nem különbözik a fizikai világ más tényeihez történő hozzáférésünktől, vagyis a posteriori.

 

Fiziko-formalista tézis: A logikai, illetve matematikai tények, lévén formális tények, nem mások, mint valamilyen konkrét fizikai jelekben, konkrét fizikai konfigurációkban, illetve folyamatokban megtestesülő formális rendszernek a fizikai tényei. (Szabó, 2003, 2012)

 

E fizikailag megtestesült formális rendszerek változatos fajtájúak lehetnek: tintakonfigurációk a papíron, egy agy neurális konfigurációi, egy komputer elektronikus folyamatai vagy ezek különböző kombinációi stb. A lényeg az – és ez a fiziko-formalista elmélet lényege –, hogy teljes egészében a fizikalista ontológia keretén belül maradunk anélkül, hogy absztrakt, konceptuális vagy mentális entitásokat hiposztazálnánk.

 

4. „Absztrakt” vagy „matematikai” értelemben vett formális rendszerek gyakran úgy vannak elgondolva, hogy azokat absztrakció útján nyerjük, elvonatkoztatva a konkrét fizikailag létező formális rendszerek lényegtelen, partikuláris tulajdonságaitól, kiemelve azokat a tulajdonságokat, melyek több különböző, fizikailag létező formális rendszerben közösek (lásd a 3. pontban idézett részletet Currytől). Nézzük meg közelebbről, mit is jelent egy ilyen absztrakció? Tekintsünk különböző fizikailag létező formális rendszereket, L1, L2, L3, … Ln. Ahhoz, hogy elvonatkoztassunk ezek bizonyos partikuláris tulajdonságaitól, és izoláljuk azt, ami bennük közös, mindenekelőtt rendelkeznünk kell annak tudásával, hogy az L1, L2, L3, … Ln fizikai objektumoknak milyen tulajdonságaik vannak. Hogy csak az ideális esettel foglalkozzunk, rendelkeznünk kell egy (M,S) fizikai elmélettel (hogy mi egy fizikai elmélet, azt később, a 7. pontban fogjuk értelmezni), melynek szemantikája kiterjed a világ L1, L2, L3, … Ln objektumait tartalmazó részére, és persze olyan, hogy ezeknek az objektumoknak a helyes leírását nyújtja. Csak egy ilyen „metamatematikai” elméletben – amely tehát a fizikailag létező formális rendszereknek mint fizikai objektumoknak a fizikai elmélete – lehet egyáltalán megfogalmazni az absztrahálás lépéseit, értelmezni az L1, L2, L3, … Ln objektumok közötti hasonlóságokat, ekvivalencia osztályokat bevezetni stb. De az (M,S) elméletnek – mint parciálisan interpretált formális rendszernek – az M része, maga is egy fizikailag létező formális rendszer – ahogy Curry mondaná, másképp el sem tudjuk gondolni. Az absztrakció minden egyes lépése ennek a fizikailag létező formális rendszernek az elemei által van reprezentálva (2. ábra). Azaz az absztrakció nem vezet ki bennünket a fizikailag létező dolgok világából, és nem nyerünk egy a fizikailag megtestesült formális rendszereken túli „absztrakt/matematikai formális rendszert”, amelynek L1, L2, L3, … Ln a konkrét fizikai „reprezentációi” lennének. Egyszerűen annyi történik, hogy egy fizikailag létező formális rendszer mint fizikai objektum reprezentálva van egy másik fizikailag létező formális rendszerben, egy fizikai elmélet keretében.

 

 

5. Összefoglalva tehát, azt látjuk, hogy a logikai és matematikai állítások – mindenekelőtt a Σ ⊢ A típusú állítások – fizikai tényeket állító állítások, és ugyanolyan episztemológiai státuszúak, mint a fizikai világ más tényeinek állításai. Ennek természetesen messzemenő filozófiai következményei vannak: a logikai és matematikai igazságok a fizikai világ egy partikuláris darabjának, nevezetesen a szóban forgó formális rendszernek az objektív tényeit fejezik ki. Mint ilyenek, szintetikusak, a posteriori természetűek, nem szükségszerűek, fallibilisek, tehát nem szolgáltatnak abszolút bizonyosságot. Ezáltal viszont a logikai és matematikai állításoknak van kontingens faktuális tartalmuk, mint minden más tudományos állításnak, és ennek megfelelően „igazak, hasznosak, és meglepőek” (Ayer, 1952, 72.) tudnak lenni. A logikai és matematikai tények „felfedezhetőek” (vö. Hardy, 1929), mint a természet bármely más ténye, hasonlóan ahhoz, ahogyan egy műanyag molekulára vagy más artefaktumra vonatkozó tény felfedezhető.

 

6. Mindez természetesen vonatkozik az olyan matematikai tényekre is, amelyek a végtelen valamilyen matematikai fogalmával kapcsolatosak. Pontosabban, a „fogalom” szó használata indokolatlan, hiszen egy jelentés nélküli szimbólum vagy formula nem nevezhető fogalomnak. És ebből a szempontból teljesen mindegy, hogy a szóban forgó formula egy „végtelen számosságot” vagy éppen a „kettőt” jelölő kifejezés, egyik sem fejez ki semmiféle fogalmat, és nem ír le semmit a fizikai világban. Éppen ezt kifogásolja Rudolf Carnap a matematika tisztán formalista értelmezésében:

 

„A formalista megközelítés helyes abban az értelemben, hogy az egész rendszer felépíthető tisztán formális eszközökkel, vagyis anélkül, hogy a szimbólumok jelentésére hivatkoznánk. Elég lefektetnünk azokat a transzformációs szabályokat, melyekből aztán automatikusan következik bizonyos mondatok és a köztük fennálló következmény-relációk érvényessége. És mindehhez nem szükséges sem feltennünk, sem megválaszolnunk a formális struktúrán túlra mutató tartalmi kérdéseket. De ez a program nyilvánvalóan nem vihető végig pusztán a logikai-matematikai kalkulus megkonstruálásával. Mert ez a kalkulus nem tartalmazza mindazokat a mondatokat, melyek egyfelől tartalmazzák a matematikai szimbólumokat, másfelől relevánsak a tudomány számára. Történetesen azokat a mondatokat, amelyek a matematika alkalmazása szempontjából érdekesek, azaz a matematikai szimbólumokkal kifejezett szintetikus deskriptív mondatokat. Például, az a mondat, hogy »Ebben a szobában most két ember van« nem vezethető le pusztán a logikai-matematikai kalkulus segítségével abból a mondatból, hogy »Karcsi és Péter itt vannak most a szobában, és senki más nincs a szobában«.” (Carnap, 1937, 326.)

 

Mondanivalóm megvilágítása érdekében érdemes kielemeznünk azt a három dolgot, amelyben Carnap megítélésem szerint téved. Először, a formalista értelmezés szerint a formális rendszer formulái valóban nem alkalmasak arra, önmagukban, hogy bármit is kifejezzenek a világból. És ez nem is lehet másképpen, hacsak nem feltételeznénk, hogy egy formális rendszerbe mint kristálygömbbe nézve, szintetikus a priori állításokat mondhatunk a fizikai világról. (Ezen az sem segítene, ha a tiszta formalista matematikát a Carnap által a fent idézett passzust követően javasolt Frege-féle logicizmussal egészítenénk ki.) Másodszor, ha az argumentum kedvéért elgondolunk egy, a fizikai világot leíró elméletet – melynek fogalmát éppen Carnap nyomdokain haladva fogunk az alábbiakban megalkotni –, melynek nyelve nyilván bővebb, mint a tiszta matematika nyelve, például van benne „szoba”, „Karcsi”, „Péter”, és a logikai és matematikai axiómákon kívül vannak további (fizikai) axiómák is, akkor éppenséggel lehetséges, hogy ebben a formális rendszerben, az axiómákkal együtt a két mondat a kívánt következmény-relációban álljon egymással. Viszont, és ez a harmadik észrevétel, még ha ez is a helyzet a formális rendszeren belül, a formális rendszer formulái, beleértve a két szóban forgó mondatot, akkor is jelentés nélküli objektumok maradnak, és önmagukban nem referálnak semmire.

 

7. A fizikai világ valamely jelenségkörét leíró fizikai elméletet úgy foghatjuk fel, mint egy parciálisan interpretált formális rendszert. Jelöljük, szimbolikusan, a szóban forgó jelenségkört U-val, az elméletet pedig (L,S)-sel, ahol L a szóban forgó formális rendszert jelöli, S pedig az alábbiakban értelmezett parciális szemantikát. Az L formális rendszert továbbra is úgy értjük, hogy magában foglalja a formális nyelvet, a derivációs szabályokat, és valamilyen ΣL axiómarendszert. Az elmélet axiómáit tradicionálisan logikai, matematikai és fizikai axiómákra szokás osztani, bár ennek a megkülönböztetésnek semmi elvi jelentősége nincsen.

 

„A fizikai elméletek bármelyike, hasonlóképpen az egész fizika, megadható egy interpretált formális rendszer alakjában, amely két dologból áll, egy meghatározott kalkulusból (axiómarendszerből), és az interpretációhoz szükséges szemantikai szabályok rendszeréből. Az axiómarendszer, hallgatólagosan vagy expliciten, a logikai-matematikai kalkulusra és annak megszokott interpretációjára épül.” (Carnap, 1939, 23. bekezdés)

 

Az elméleteknek az az értelmezése, melyet az alábbiakban bemutatok, sok vonatkozásban párhuzamba állítható Carnap elgondolásával, leszámítva két jelentős különbséget. Először, a fiziko-formalista megközelítésben a „logikai-matematikai kalkulus”, önmagában, csupán egy jelentés nélküli formális rendszer, bármifajta „megszokott interpretáció” nélkül. Másodszor, a szemantikának a következő pontban kifejtett értelmezése szerint, a formális rendszer elemei és a fizikai világ közötti szemantikai kapcsolat nem valami olyan dolog, amelyet az elmélet nyelve belsőleg, valamiféle „korrespondencia-szabályok” formájában tartalmazna. Ellenkezőleg, mint látni fogjuk, a szemantika az elmélet nyelvére nézve külső dolog, legalábbis, részben külső dolog; a fizikai világnak egy jelensége, melyet az L formális rendszer és a fizikai világnak az elmélet által leírandó U része közösen produkál.

 

8. A szemantika értelmezésében (Szabó, 2017) egy olyan intuícióra támaszkodunk, melyet Kurt Gödeltől tanulhatunk meg az első nemteljességi tétel bizonyításában. A bizonyítás előkészítésében Gödel világos formában megfogalmazza, mit jelent az, hogy egy formális rendszer bizonyos formulái jelentéssel vannak felruházva, vagyis, hogy a formális rendszeren kívüli világ bizonyos tényállásaira referálnak, azokat reprezentálják. Konkrétan, a metaaritmetikai tényállásokat kifejező állítások reprezentációját adja meg magában a Peano-aritmetikában. Jelen céljainkból ennek a konstrukciónak csak a végeredményét érdemes felidézni (Crossley et al., 1990, 52–54.; Hamilton, 1988, 145–146.). Jelölje Pr(x,y) azt a metaaritmetikai tényállást, hogy „az x Gödel-számú formulasorozat az y Gödel-számú formula bizonyítása”. Jelölje továbbá {Pr(x,y)}x,y az ilyen típusú metaaritmetikai tényállások családját, ahol x és y tetszőleges Gödel-számok. Adott x és y Gödel-számokra, Pr(x,y) vagy valóban fennáll, vagyis az x Gödel-számú formulasorozat valóban bizonyítása az y Gödel-számú formulának, vagy nem. Gödel konstrukciójában a {Pr(x,y)}x,y családba tartozó tényállásokat a Peano-aritmetika egy alkalmasan konstruált {Pr(x,y)}x,y formulacsaládjával reprezentáljuk. A reprezentálás ténye a következő feltétel teljesülésében áll: tetszőleges x és y Gödel-számokra, vagyis mindegyik összetartozó Pr(x,y) és R(x,y) párra igaz, hogy

 

 

ahol ΣPA a Peano aritmetika axiómarendszerét jelöli. A fenti feltételekben megfogalmazott regularitás, vagyis, hogy (1) és (2) a {Pr(x,y)}x,y család minden elemére teljesül, a Gödel-féle reprezentációfogalom lényege, és esszenciális szerepe van a tétel bizonyításában (Crossley et al., 1990, 55–56.). Mert, például, semmi sem következne abból, ha csak egyetlen igaz metaaritmetikai tényálláshoz hozzárendelnénk egyetlen tételét az aritmetikának. Valójában az (1)-ben és (2)-ben szereplő „ha… akkor” kifejezés értelmetlen lenne, ha csak egyetlen tényállásról és a hozzá tartozó tételről lenne szó.

 

 

Az így értelmezett szemantika keretében az {Aλ}λ családba tartozó formulák jelentéssel lesznek felruházva: konkrétan az Aλ formula az aλ tényállást jelenti, arra referál.

 

9. Ezen a ponton máris néhány fontos észrevételt kell tennünk.

 

10. Fontos tisztáznunk, hogy aλ nem része az elmélet nyelvének, hanem egy metanyelvi szimbólum, amellyel a fizikai világ egy tényállását, konfigurációját jelöltük. A fiziko-formalista felfogásnak megfelelően, ΣL ⊢ Aλ, illetve ΣL ⊢ ¬ Aλ szintén fizikai tényeket fejeznek ki, történetesen az L formális rendszernek mint fizikailag létező objektumnak a tényeit. Vagyis, amit a (B) kondícióban látunk, az nem más, mint egy regularitás, más néven, korreláció a fizikai világ két részének, L-nek és U-nak a tényállásai között. Kombinálva ezt a megfigyelésünket a Reichenbach-féle közös ok elvével, vagyis azzal a tézissel, hogy nincs a fizikai világban korreláció valamilyen, direkt vagy közösok-típusú kauzális magyarázat nélkül (Reichenbach, 1956; Hofer-Szabó et al., 2013), arra a következtetésre kell jutnunk, hogy úgy a szemantikai kapcsolat, mint a fizikai elmélet igazsága, vagyis a fizikai világra vonatkozó tudás csak a fizikai világban végbemenő kauzális folyamat eredményeként jöhet létre. Kis reflexióval belátható, hogy ez a fizikai világban végbemenő kauzális folyamat nem más, mint a tapasztalat útján történő tanulás folyamata. Tehát, nem lehetséges a fizikai világról tudás, vagyis tudás, tapasztalat nélkül. Sőt, a 9. (c) pontnak megfelelően, nem lehetséges a fizikai világról szóló értelmes, jelentéssel bíró beszéd tapasztalat nélkül. Nincs a priori jelentés, és nincs a priori igazság.

 

11. Tekintsük a következő szituációt. Tegyük fel, hogy L konzisztens. Könnyen belátható, hogy az alábbi állítások nem lehetnek egyszerre igazak:

 

 

Ugyanis (i) és (iii), a 8. pont (B) kondíciónak megfelelően azt implikálná, hogy ΣL ⊢ ¬ A. Ez viszont ellentmondásban lenne (ii)-vel. Vagyis, az elmélet megcáfolásának pillanatában, amikor azt tapasztaljuk, hogy a nem áll fenn, nincs semmi jogunk azt mondani, hogy azt tapasztaljuk, hogy „¬ A”. Egyszerűen azért, mert ha a nem áll fenn, akkor a (B) kondíció nem teljesül, és ezzel az egész szemantika elveszett. Ezért ¬ A nem hordoz semmiféle jelentést, így nem referálhat arra, amit éppen tapasztalunk. Más szóval, semmilyen sajátosságot/tulajdonságot nem tulajdoníthatunk a fizikai valóságnak abban a szituációban, amikor a nem áll fenn.

 

12. Jelen megfontolásaink szempontjából azonban fontos megjegyeznünk, hogy a formális rendszerek konstitutív szerepe semmi esetre sem jelenti azt, hogy létezne egy a priori konceptuális struktúra, melynek terminusaiban a tapasztalt világot megragadjuk, és hogy ez a konceptuális struktúra valamiféle „analitikus igazságokat” generálna. Mert, ami itt létezik, az minden, csak nem konceptuális: léteznek a fizikailag megtestesült formális rendszerek, mindenféle jelentés nélkül. És amint a formális rendszer formulái jelentést kapnak – a 8. pontban leírtak értelmében –, azonnal igazak vagy hamisak lesznek, nem analitikus, hanem empirikus értelemben. És, tegyük hozzá, az empíria nem jelent sem többet sem kevesebbet, mint azt a fizikai világban végbemenő kauzális folyamatot, amely az L fizikai létező és az U fizikai létező tényállásai között a (B) kondícióban leírt korrelációt létrehozza. Semmi szükség tehát valamiféle intuitív vagy transzcendens szubjektum tételezésére. Az episztemikus ágens egyszerűen része ennek az akár evolúciós időkig visszanyúló fizikai folyamatnak.

 

13. Hajlamosak lehetnénk úgy gondolni, hogy mindez csak az elmélet nyelvének interpretált, vagyis a fizikai világhoz közvetlenül kötött, arra referáló részére igaz, vagyis az L formális rendszer azon objektumaira, melyek a szemantika alapját képező {Aλ}λ családba tartozó formulákban involválódnak, s hogy a formális rendszer maradék, tisztán „teoretikus” részébe tartozó objektumok rendelkeznének valamiféle, a fizikai világra történő referenciától független „tiszta fogalmisággal”, és hogy a „végtelen”, az ő összes problémájával együtt, valahol ebben a „tisztán fogalmi” szférában foglal helyet.

 

Készült az NKFI Hivatal támogatásával, No. K115593.