A GeoGebra Markus Hohenwarter diplomamunkája volt a Salzburgi Egyetemen 2002-ben, középiskolai oktatási segédletként készítette. A GeoGebrát az elmúlt évek során számos nemzetközi díjjal jutalmazták. A dinamikus matematikai szoftverek vezető szolgáltatójává vált, amely világszerte támogatja a természettudományos, technológiai, mérnöki és matematikai, művészeti (STEAM) oktatást, valamint a tanítás és tanulás innovációit.

A GeoGebrához kapcsolódik egy több millió felhasználóból álló közösség, amelynek tagjai szinte minden országban megtalálhatók.

A felhasználó két dimenzióban gyakorlatilag egy virtuális szerkesztőkészletet kap a kezébe. A papíron végzett szerkesztésektől eltérően itt a kiinduló objektumok (pontok, egyenesek stb.) szabadon mozgathatók, úgy hogy a tőlük függő objektumok velük együtt mozognak. Másrészt, egy számítógépes algebrai rendszer, amelyben az objektumok algebrai úton is megadhatók (pontok koordinátáikkal, egyenesek egyenleteikkel, függvények képletükkel stb.). A GeoGebra fontos tulajdonsága, hogy egy kifejezés az algebra-ablakban megfelel egy objektumnak a geometria-ablakban, és viszont. Függetlenül attól, hogy az objektumot milyen módon vettük fel (a geometria-ablakban szerkesztéssel vagy az algebra-ablakban paramétereinek megadásával) mindkét ablakban módosítható, és a változás a másik ablakban is látható (Papp-Varga, 2009). A GeoGebra 3D-ben már három ablak objektumai vannak „összekötve egymással” a 3D objektum, egy síkmetszete 2D-ben és az algebrai leírás.

A GeoGebra applikációk online és offline is használhatók. Ingyenesen letölthetők iOS-re, Androidra, Windowsra, Macre, Chromebookra és Linuxra. A GeoGebra Classroom nevű együttműködési platformon keresztül a tanárok a diákok előrehaladását valós időben követhetik nyomon.

De további kérdések is felmerülhetnek. Ki tudnánk számítani a metszetek területét? Ha változtatnánk az arányt, milyen arány esetén nincs közös része a két legnagyobb csúcsalakzatnak? Erre készült egy GeoGebra applikáció is – itt az oldalszámokon kívül az arány is változtatható –, ezzel lehet kísérletezni, majd próbálkozni a bizonyítással. Mi lenne, ha más sorrendben helyeznénk el a csúcsalakzatokat, vagyis az

search

arány után nem az

search

, hanem mondjuk az

search

következne? Akkor is fennállna a fenti probléma?

Ekkor az a = λ × a + λ2 × a egyenletet kell megoldanunk λ-ra, ahol λ a hasonlóság aránya, a pedig az alap kocka éle. A másodfokú egyenlet pozitív megoldása az aranymetszés aránya lesz.

Számtalan kitekintést, kapcsolódási pontot adhat a fenti szerkesztések elkészítése. Elsősorban matematikai kapcsolatok adódnak. Beszélhetünk a középpontos hasonlóság tulajdonságairól, különböző arányok esetén, hasonló sokszögek, síkidomok területéről, de az aranymetszés a matematika mellett a művészettel is összefügg. Az aranymetszés aránya számtalan képen, épületen, zeneműben megjelenik, de hétköznapi tárgyainkon (például a bankkártya is arany téglalap), ismert logókon is feltűnik.

A csúszkán változtatható arányokkal a két poliéder alapú esetben is kísérletezhetünk. A 4. ábra második sorának jobb oldalán látható egy negatív, –1-nél kisebb és egy pozitív, 1-nél nagyobb aránnyal a tetraéder.

A fraktálok rajzolása, tanulmányozása során minden egyes lépésben kiszámolhatjuk az összalakzat kerületét, területét. Megvizsgálhatjuk, hogy mi lesz a kerület, terület határértéke, ha a lépések száma a végtelenhez tart. Véges területen lehet végtelen hosszú törtvonal? Lehetőségünk van a dimenziók fogalmának körüljárására, miért törtdimenziósak a fraktálok? Egy színes térbeli és síkbeli fraktál a 4. ábra 3. sorában található.

A Poliuniverzum elemeire építve természetesen még sok, további ötletet is felvethetünk, továbbgondolhatunk. Például a Poliuniverzum térbeli kiterjesztései a kristályrácsok felé is adhatnak továbblépési lehetőséget. Érdekes kérdés az is, hogy hogyan nézne ki a köralakzat a térben? Meg tudjuk-e szerkeszteni GeoGebrában? És a kérdések sora végtelen, egy-egy újabb kérdés egyre több további gondolatot ébreszt. A fent említett applikációk az alábbi linken találhatók meg: URL5.