Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika

Második, javított kiadás

A vonalintegrál létezése és kiszámítása

A vonalintegrál és az ívhossz szerinti integrál is létezik minden olyan esetben, amikor γ rektifikálható, és f(z) folytonos γ pontjaiban. Ha azt is tudjuk, hogy γ (mint [a, b] → C függvény) folytonosan differenciálható, akkor a vonalintegrált és az ívhossz szerinti integrált is átírhatjuk Riemann-integrállá:

Tartalomjegyzék

MATEMATIKA
Impresszum
Előszó
chevron_rightA kötetben használt jelölések
- Halmazok, logika, általános jelölések
- Elemi algebra, számelmélet
- Geometria, vektorok
- Függvények, matematikai analízis, valós és komplex függvények
- Fraktálok
- Kombinatorika, valószínűségszámítás
- Algebra, kódelmélet
- A görög ábécé betűi
chevron_right1. Halmazok
- 1.1. Alapfogalmak
- 1.2. Műveletek halmazokkal
- 1.3. A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet
- 1.4. További számhalmazok, halmazok számossága
chevron_right2. Logikai alapok
- 2.1. Állítások logikai értéke, logikai műveletek
- 2.2. Predikátumok és kvantorok
- 2.3. Bizonyítási módszerek
chevron_right3. Számtan, elemi algebra
- chevron_right3.1. Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, műveletek különböző számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás
  - chevron_rightMűveletek a természetes számok halmazán
- chevron_right3.2. Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a π), nevezetes közepek
  - Nevezetes arányok
  - Nevezetes közepek
- 3.3. Algebrai kifejezések és műveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok
- chevron_right3.4. Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és műveleteik
- 3.5. Számrendszerek
- chevron_right3.6. Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, első- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek)
- 3.7. Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek)
chevron_right4. Polinomok és komplex számok algebrája
- chevron_right4.1. Műveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó
  - Műveletek polinomokkal, oszthatóság
  - Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös
- chevron_right4.2. Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok
- chevron_right4.3. Komplex számok
- chevron_right4.4. Polinomok zérushelyei
  - Valós együtthatós polinomok zérushelyei
- 4.5. Többváltozós polinomok
chevron_right5. A sík elemi geometriája
- 5.1. A geometria rövid története
- chevron_right5.2. Geometriai alapfogalmak
  - Pontok, egyenesek, szakaszok
  - Szögek, szögpárok
- chevron_right5.3. Geometriai transzformációk
- chevron_right5.4. Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok
- chevron_right5.5. Négyszögek
  - chevron_right
    - Trapéz
    - Paralelogramma
    - Téglalap
    - Rombusz
    - Négyzet
    - Deltoid
- chevron_right5.6. Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés
  - chevron_right
    - Aranymetszés
- chevron_right5.7. A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintőnégyszögek
- chevron_right5.8. Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések
chevron_right6. A tér elemi geometriája
- 6.1. Alapfogalmak
- chevron_right6.2. Poliéderek
  - chevron_rightSpeciális poliéderek
    - Hasábok
    - Gúlák, csonka gúlák
- chevron_right6.3. Görbe felületű testek
- 6.4. Henger és kúp síkmetszetei
chevron_right7. Ábrázoló geometria
- chevron_right7.1. Bevezetés
  - Jelölések, szerkesztések
  - chevron_rightNéhány geometriai transzformáció, leképezés
- chevron_right7.2. Ábrázolás két képsíkon
- chevron_right7.3. Axonometrikus ábrázolás
  - Ábrázolás általános axonometriában
  - Speciális axonometriák
- chevron_right7.4. Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat
  - chevron_rightNéhány alapvető görbe ábrázolása
    - Kör, ellipszis
    - Közönséges csavarvonal
  - chevron_rightFelületek ábrázolása
  - chevron_rightFelületek síkmetszete
  - Felületek áthatása
- chevron_right7.5. Kótás ábrázolás
- chevron_right7.6. Néhány további ábrázolási módszer
  - chevron_rightCentrális ábrázolás
  - Sztereografikus projekció
- Irodalom
chevron_right8. Vektorok
- 8.1. A vektor fogalma és jellemzői
- chevron_right8.2. Műveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben
- chevron_right8.3. Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat
chevron_right9. Szögfüggvények
- chevron_right9.1. A hegyesszög szögfüggvényei
  - Speciális szögek szögfüggvényei
- chevron_right9.2. Szögfüggvények általánosítása
  - Addíciós tételek
- 9.3. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására
- 9.4. Trigonometrikus egyenletek
- chevron_right9.5. Trigonometrikus függvények és inverzeik
  - Trigonometrikus függvények
  - A trigonometrikus függvények inverzei
- chevron_right9.6. Gömbháromszögek és tulajdonságaik
  - Alapfogalmak
  - Gömbháromszögpárok
chevron_right10. Analitikus geometria
- chevron_right10.1. A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakasz osztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe)
- chevron_right10.2. Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága)
- chevron_right10.3. A kör egyenlete
  - A kör egyenlete, a kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet
  - chevron_rightKör és egyenes
- chevron_right10.4. Koordinátatranszformációk
  - chevron_right
    - Párhuzamos helyzetű koordináta-rendszerek
  - A koordináta-rendszer origó körüli elforgatása
- chevron_right10.5. Kúpszeletek egyenletei, másodrendű görbék
  - chevron_rightA parabola
    - A parabola érintője
  - chevron_rightAz ellipszis
    - Az ellipszis érintője
  - chevron_rightA hiperbola
    - A hiperbola érintője, aszimptotái
  - Másodrendű görbék
- 10.6. Polárkoordináták
- chevron_right10.7. A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendű felületek, térbeli polárkoordináták)
chevron_right11. Lineáris algebra
- chevron_right11.1. Mátrixok és determinánsok
- chevron_right11.2. Lineáris egyenletrendszerek
- chevron_right11.3. Vektorterek
- chevron_right11.4. Lineáris leképezések
- chevron_right11.5. Bilineáris függvények
  - Merőlegesség, ortogonális bázisok
  - Kvadratikus alakok
- chevron_right11.6. Euklideszi terek
- Ajánlott irodalom
chevron_right12. Absztrakt algebra
- 12.1. Az algebrai struktúrákról általában
- chevron_right12.2. Gyűrűelmélet, alapfogalmak
- chevron_right12.3. Kommutatív egységelemes gyűrűk
- chevron_right12.4. Csoportelmélet, alapfogalmak
- chevron_right12.5. További témák a csoportelméletből
- chevron_right12.6. Testek és Galois-csoportok
- chevron_right12.7. Modulusok
- 12.8. Hálók és Boole-algebrák
chevron_right13. Számelmélet
- chevron_right13.1. Bevezetés, oszthatóság
  - Maradékos osztás, euklideszi algoritmus
  - Prímszámok, prímfelbontás
- chevron_right13.2. Számelméleti függvények
- chevron_right13.3. Kongruenciák
  - Elsőfokú kongruenciaegyenletek
  - Magasabb fokú kongruenciaegyenletek
- chevron_right13.4. A kongruenciaosztályok algebrája
  - Primitív gyökök
- chevron_right13.5. Kvadratikus maradékok
  - A Legendre- és Jacobi-szimbólumok
- chevron_right13.6. Prímszámok
- chevron_right13.7. Diofantikus egyenletek
chevron_right14. Számsorozatok
- 14.1. A számsorozat fogalma
- 14.2. A számtani sorozat és tulajdonságai
- 14.3. A mértani sorozat és tulajdonságai
- 14.4. Korlátos, monoton, konvergens sorozatok
- 14.5. A Fibonacci-sorozat
- 14.6. Magasabb rendű lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor
chevron_right15. Elemi függvények és tulajdonságaik
- chevron_right15.1. Függvény
- chevron_right15.2. Polinomfüggvények
  - A másodfokú függvény
  - A másodfokú függvény tulajdonságai
- chevron_right15.3. Racionális törtfüggvények
- chevron_right15.4. Exponenciális és logaritmusfüggvények
- chevron_right15.5. Trigonometrikus függvények
- chevron_right15.6. Hiperbolikus függvények
chevron_right16. A valós analízis elemei
- 16.1. A valós számok alapfogalmai
- chevron_right16.2. Számsorozatok
- chevron_right16.3. Numerikus sorok
- chevron_right16.4. Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke
- chevron_right16.5. Többváltozós analízis elemei
  - Az Rp tér alapfogalmai
  - Folytonosság és határérték
chevron_right17. Differenciálszámítás és alkalmazásai
- chevron_right17.1. Differenciálható függvények
  - Differenciálható függvény fogalma
- chevron_right17.2. Nevezetes függvények deriváltja
- chevron_right17.3. Függvényműveletek és a deriválás kapcsolata
- chevron_right17.4. Differenciálható függvények tulajdonságai
  - Többszörösen differenciálható függvények
  - Középértéktételek, l'Hospital-szabály
- chevron_right17.5. Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására
- chevron_right17.6. Többváltozós függvények differenciálása
- chevron_right17.7. Fizikai alkalmazások
  - Sebesség
  - Gyorsulás
chevron_right18. Integrálszámításéés alkalmazásai
- chevron_right18.1. Határozatlan integrál
  - Primitív függvény
- chevron_right18.2. Riemann-integrál és tulajdonságai
- chevron_right18.3. Numerikus integrálás
- chevron_right18.4. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz)
- chevron_right18.5. Többváltozós integrál
chevron_right19. Közönséges differenciálegyenletek
- chevron_right19.1. Bevezetés
  - A differenciálegyenlet fogalma
  - A differenciálegyenlet megoldásai
- chevron_right19.2. Elsőrendű egyenletek
- chevron_right19.3. Differenciálegyenlet-rendszerek
  - Lineáris rendszerek megoldásának ábrázolása a fázissíkon
- chevron_right19.4. Magasabb rendű egyenletek
  - Hiányos másodrendű differenciálegyenletek
  - Másodrendű lineáris egyenletek
- 19.5. A Laplace-transzformáció
- chevron_right19.6. Függvénysorok
chevron_right20. Parciális differenciálegyenletek
- 20.1. Bevezetés
- chevron_right20.2. Elsőrendű egyenletek
- chevron_right20.3. Másodrendű egyenletek
- chevron_right20.4. Vektoranalízis és integrálátalakító tételek
- chevron_right20.5. A hővezetési egyenlet és a hullámegyenlet
chevron_right21. Komplex függvénytan
- 21.1. Bevezető
- chevron_right21.2. Reguláris függvények
- chevron_right21.3. Integráltételek
- chevron_right21.4. Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés
- chevron_right21.5. A reziduumtétel és alkalmazásai
- chevron_right21.6. Konform leképezések
- chevron_right21.7. Harmonikus függvények
  - A harmonikus függvény mint a reguláris függvény valós része
  - A harmonikus függvények néhány fontos tulajdonsága
chevron_right22. Fraktálgeometria
- 22.1. Bevezető példák
- 22.2. Mátrixok és geometriai transzformációk
- 22.3. Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények
- 22.4. Az IFS-modell
- 22.5. Olvasmány a halmazok távolságáról
- 22.6. Az IFS-modell tulajdonságai
- 22.7. IFS-modell és önhasonlóság
- 22.8. Önhasonló halmazok szerkezete és a „valóság”
- 22.9. A fraktáldimenziók
- 22.10. A hatványszabály (power law)
- 22.11. A boxdimenzió
- 22.12. Mit mér a boxdimenzió?
- 22.13. Tetszőleges halmaz boxdimenziója
- 22.14. Fraktáldimenzió a geodéziában
chevron_right23. Kombinatorika
- chevron_right23.1. Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási problémák
  - Binomiális együtthatók további összefüggései
- 23.2. Egyszerű sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlődő elemekkel
- chevron_right23.3. A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák
- chevron_right23.4. A kombinatorikus geometria elemei
chevron_right24. Gráfok
- 24.1. Alapfogalmak
- chevron_right24.2. Gráfok összefüggősége, fák, erdők
  - Minimális összköltségű feszítőfák keresése
- 24.3. A gráfok bejárásai
- chevron_right24.4. Speciális gráfok és tulajdonságaik
- chevron_right24.5. Irányított gráfok
- chevron_right24.6. Szállítási problémák modellezése gráfokkal
- 24.7. Véletlen gráfok
- chevron_right24.8. Gráfok alkalmazásai
- chevron_right24.9. Gráfok és mátrixok
  - Gráfok spektruma, a sajátérték-probléma, alkalmazás reguláris gráfokra
chevron_right25. Kódelmélet
- chevron_right25.1. Bevezetés
  - Huffman-kódok
- chevron_right25.2. Hibajavító kódok
  - Egyszerű átalakítások
  - Korlátok Aq (n, d)-re
- chevron_right25.3. Lineáris kódok
- 25.4. Ciklikus kódok
chevron_right26. Valószínűség-számítás
- 26.1. Alapfogalmak, bevezetés
- 26.2. Valószínűségi mező, események, eseményalgebra
- 26.3. Feltételes valószínűség, függetlenség
- chevron_right26.4. Valószínűségi változók
- chevron_right26.5. Nevezetes diszkrét eloszlások
- chevron_right26.6. Nevezetes folytonos eloszlások
- chevron_right26.7. Az eloszlások legfontosabb jellemzői: a várható érték és a szórás
- chevron_right26.8. A nagy számok törvényei
  - A nagy számok gyenge törvényei
  - Nagy számok erős törvényei
- chevron_right26.9. Nevezetes határeloszlás-tételek
  - A matematikai statisztika alaptétele
- chevron_right26.10. Korreláció, regresszió
  - Kétváltozós regresszió
- 26.11. Egyszerű véletlen folyamatok matematikai leírása
chevron_right27. Matematikai statisztika
- 27.1. Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság
- chevron_right27.2. Adatok szemléltetése, ábrázolása
- chevron_right27.3. Átlag és szórás
- chevron_right27.4. Idősorok
- chevron_right27.5. Összefüggések két ismérv között
- chevron_right27.6. Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás
  - A standardizálás módszere
- chevron_right27.7. A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat
- chevron_right27.8. A Bayes-statisztika elemei

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2023

ISBN: 978 963 454 859 1

Matematika

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika-2kiadas//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero