MeRSZ online
okoskönyvtár

Több száz tankönyv egy helyen.
Online. Bárhol. Bármikor.

Válts MeRSZ+ -ra!

Simonyi Károly

A fizika kultúrtörténete a kezdetektől a huszadik század végéig


5.7.4.2. Csoportok és szimmetriák
A kvantum-elektrodinamika (QED) úttörő sikerét akkor érte el az 1940-es évek második felében, amikor megoldódott az elektromágneses kölcsönhatási energia kiszámítása során fellépő (egyes esetekben többszörösen) végtelen értékek eltávolítása. Ezt az eljárást renormalizációnak hívják. A renormalizálhatóság az elektrodinamika mértékszimmetriájából következik, amely egyebek között az elektromágneses térerősségek mértékinvarianciáját is garantálja. Némi túlzással állítható: ahogyan a geometriai optika teljességgel levezethető a legrövidebb terjedési idő elvéből, úgy az egész elektrodinamika – a fotonok léte minden tulajdonságukkal (egységnyi spin, nulla nyugalmi tömeg) – a mértékinvariancia következménye. Ez a magával ragadó, esztétikus és sikeres gondolat nagy kihívást jelentett a kutatóknak.
A mértékszimmetria az általános szimmetriacsoport egy speciális esete. Egy fizikai elmélet akkor rendelkezik a mértékszimmetriával, ha fizikai tartalma az ún. mértéktranszformációkkal szemben változatlan, röviden mértékinvariáns. Mértéktranszformációnak az elméletben szereplő térmennyiségeknek alkalmasan választott hely- és időfüggő függvények hozzáadásával, illetve fázistényezővel történő megszorzásával előidézett megváltozását hívják. Ha eközben a releváns (megmérhető) fizikai mennyiségek változatlanok maradnak, akkor beszélünk mértékinvarianciáról. A legegyszerűbb mértékinvarianciát demonstráló transzformáció az, amikor az elektrosztatikus potenciálhoz egy tetszőleges állandót adnak, miközben az elektrosztatikus térerősség változatlan. Általánosabban kijelentve: a Maxwellegyenletek változatlanok a négyes potenciál mértéktranszformációja során.
A mértékszimmetriák leírásában a csoportelmélet matematikai diszciplínáját alkalmazzák, konkrét matematikai eszközei pedig mátrixokként ábrázolhatók.
Arthur Cayley vezette be önálló objektumokként a mátrixokat 1858-ban. Ezzel a lineáris egyenletrendszerek kezelése jelentősen leegyszerűsödött.
A következőkben kizárólag négyzetes mátrixokkal lesz dolgunk. Feltételezzük, hogy a mátrixok determinánsa nullától különbözik. Azt a mátrixot, amelynek csupa egység áll diagonális elemeiben és azon kívül minden eleme nulla, egységmátrixnak hívják. A legfontosabb számítási szabályok a következők:
A szorzás kommutatívitása általában nem érvényes: ABBA
Az asszociativitási szabály szigorúan érvényes: A(BC)=(AB)CABC)
Az egységmátrixra érvényes reláció a következő: A1=1A=A
Nem elfajult mátrixra (azaz ha detA≠0) létezik az inverz mátrix, amelyet A–1 jelöl:
AA–1=A–1A=1.
A mátrixszámítást a fizikusok számára a kvantummechanika Heisenberg által adott megfogalmazása, a mátrixmechanika tette különösen érdekessé. A következőkben vázlatosan bemutatandó csoportelmélet az elmúlt években a részecskefizikusok mindennapi munkaeszköze lett.
A csoportelmélet elsődleges alapjait Évariste Galois rakta le 21 éves korában, néhány nappal halálos kimenetelű párbaját megelőzően. Az egyváltozós, állandó együtthatós n-ed fokú egyenletek megoldhatóságának kérdését vizsgálta. A csoport fogalom bevezetésével sikerült megoldania ezt az ősi feladatot.
Az elemek egy halmaza akkor alkot csoportot, ha
  1. létezik minden két elemnek egy rendezett kapcsolata (amelyet szorzásnak hívnak), amely újfent a halmaz egy elemét adja;
  2. erre a kapcsolatra (szorzásra) érvényes az asszociativitás tulajdonsága : A(BC)=(AB)C;
  3. létezik az egységelem E: EA=A, a csoport minden A elemére;
  4. minden elemnek van egy inverz eleme, amelyre AA–1=E teljesül.
A kommutatívitási szabályt nem követelik meg általánosan. Azt a csoportot, amelynek minden elempárjára fennáll AB=BA, abeli csoportnak hívják.
A csoport fogalmának bevezetése a legkülönbözőbb (szorzási) kapcsolattal rendelkező, egyebekben eltérő sokaságok egységes tárgyalását teszi lehetővé. Igen egyszerű (végtelen) csoportot alkotnak az egész számok, ahol az összeadás művelete definiálja a két elem „szorzási” kapcsolatát. Minthogy a négyzetes mátrixok szorzása újfent négyzetes mátrixra vezet, az azonos rangú, nem elfajult négyzetes mátrixok egy (végtelen) csoportot alkotnak. A nem elfajultság tulajdonsága az inverz mátrix létezésének szükséges feltétele. Az egyszerű véges csoport „mintapéldánya”a következő számnégyes: 1, j, –1, –j, ahol a szokásos szorzás művelete adja a rendezett kapcsolatot.
A részecskefizikában a szimmetriacsoportok döntő szerepet játszanak. A legegyszerűbbek és legszemléletesebbek azok a csoport műveletek, amelyek egy-egy geometriai testet (a síkban vagy a háromdimenziós térben) önmagába visznek át. Egyszerű példa látható az 5.7-13 ábrán. Egy egyenlő oldalú háromszöget 6 művelet visz át önmagába:
1. a 120°-os forgatás,
2. a 240°-os forgatás ,
3. az I egyenesre történő tükrözés,
4. a II egyenesre történő tükrözés,
5. a III egyenesre történő tükrözés,
6. az egységelem alkalmazása, amely a háromszöget változatlanul hagyja.
 
5.7-13 ábra.
A fent emlegetett három csoportot úgy választottuk és az elemekre olyan jelölést alkalmaztunk, hogy a három csoport szorzótáblái azonosak legyenek. Erről a megfelelő műveletek elvégzésével könnyű meggyőződni. Ezeket a csoportokat egymással izomorfoknak nevezik: az egyiken elvégzett vizsgálatok a másik megfelelő vizsgálatainak eredményére vonatkozó felvilágosítást is adnak. A matematikailag könnyebben kezelhető mátrixcsoportot a többi (izomorf) csoport reprezentánsának tekinthetjük.
 
Ezeket a műveleteket, amelyek ennek a (véges) szimmetriacsoportnak az elemeit alkotják az A,B,C,D,F és E betűkkel jelöljük. A szorzást két művelet egymás utáni elvégzése valósítja meg. Könnyen belátható, hogy a szorzással újfent a csoport egy elemére jutunk. Létezik az inverz elem is: minden művelethez található egy olyan, amely visszaállítja az eredeti helyzetet. A véges csoport szerkezetének vizsgálatához a legfontosabb eszköz az ún. szorzótábla.
A részecskefizikában előforduló speciális csoportok az U(n) unitér csoport SU(n) alcsoportjai. Az unitér csoportokat olyan mátrixok reprezentálják, amelyekre ÃT=A–1, ahol à az összes mátrixelemnek komplex konjugáltjával történő helyettesítése révén jön létre A-ból, AT pedig A transzponáltja, azaz a mátrix sorai és oszlopai felcserélésével keletkező mátrix. A mátrix inverzét A–1 jelöli, végül n a mátrix rangja. A speciális unitér csoport, SU(n) elemeit reprezentáló mátrixok determinánsa +1 (az elnevezésben az „S” betű a „speciális” szóra utal).
Az elektromágneses kvantumtér mértékszimmetriája U(1) szimmetria. A szokásos térben ez a legegyszerűbb szimmetriát, a kör forgási szimmetriáját fejezi ki. Mint fentebb említettük, a kvantum-elektrodinamika e szimmetriája révén renormalizálható az elmélet, és válik lehetségessé az elektron anomális mágneses momentumának vagy a Lambeltolódásnak alig hihetető pontosságú (elméleti) meghatározása.
Az SU(2) szimmetria vezetett a gyenge kölcsönhatások rövidéletű V-A elméletére (a „V” és az „A” betűk itt a vektor és axiál-vektor elnevezésekre utalnak).
Az U(1)xSU(2) kombináció segítségével fejlesztették ki a renormalizálható elektrogyenge elméletet (Glashow–Salam–Weinberg, 1967).
Az erős kölcsönhatások mértékelmélete, a kvantum-kromodinamika (QCD) az SU(3) mértékszimmetrián alapul (Fritzsch–Gell-Mann–Leutwyler, 1973).
Az elektrogyenge kölcsönhatás elmélete a QCD-vel együtt alkotja a standardmodellt avagy a Standard Elméletet, amelyet az 1980-as években általánosan elismertek és azóta kiterjedten alkalmaznak.
A Standard Elmélet az SU(3)xSU(2)xU(1) csoport kombinációra épül. Glashow és Georgi keresték azt az egyetlen csoportot, amelyre a három kölcsönhatás egységes elmélete alapozható. Ők erre a célra az SU(5) csoportot vélték alkalmasnak.

A fizika kultúrtörténete a kezdetektől a huszadik század végéig

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2020

ISBN: 978 963 454 490 6

A magyar természettudományos könyvkiadás talán legjelentősebb műve most először jelenik meg a legendás szerző által megalkotott teljességében. A 2001-ben elhunyt Simonyi Károly legutoljára egy német kiadás számára dolgozott könyvén, s az ekkor keletkezett szakaszok, amelyek a XX. század utolsó évtizedét is átfogják, csak most jutnak el a hazai olvasókhoz. A fizika kultúrtörténete az emberi gondolkodással egyidős tudományág fejlődését mutatja be a kezdetektől napjainkig. Az izgalmas történetet a fontos mérföldköveket jelentő kísérletek, elméletek és bizonyítások könnyen érthető leírásán túl a fizikával sokszor szorosan összefonódva kibontakozó egyetemes bölcselet és művészet alkotásaiból választott szemelvények illusztrálják. A könyv tanúsága szerint egy-egy jelentős természettudományos felismerés ugyanakkora teljesítmény és a civilizáció ugyanolyan ünnepe, mint a kultúra vagy művészet bármely közismert, nevezetes alkotása. Mindkettő egy tőről, az emberi zsenialitásból fakad. A mű népszerűségét éppen az adja, hogy befogadásához nem kell túlzottan sok fizikai ismeret, így mindenki, aki a kultúra értékei iránt fogékony, értékes olvasmányként forgathatja.

Hivatkozás: https://mersz.hu/simonyi-a-fizika-kulturtortenete//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kedvenceimhez adás

A kiadványokat, képeket, kivonataidat kedvencekhez adhatod, hogy a tanulmányaidhoz, kutatómunkádhoz szükséges anyagok mindig kéznél legyenek.

Ha nincs még felhasználói fiókod, regisztrálj most,
vagy lépj be a meglévővel!

Személyes mappák
Mappába rendezés

A kiadványokat, képeket mappákba rendezheted, hogy a tanulmányaidhoz, kutatómunkádhoz szükséges anyagok mindig kéznél legyenek.

A MeRSZ+ funkciókért válaszd az egyéni előfizetést!

Személyes mappák
Kivonatszerkesztés

Intézményi hozzáféréssel az eddig elkészült kivonataidat megtekintheted, de újakat már nem hozhatsz létre.

A MeRSZ+ funkciókért válaszd az egyéni előfizetést!

Kivonatkészítés
Folyamatos görgetés

Választhatsz, hogy fejezetről fejezetre lapozva vagy inkább folyamatosan olvasnád-e a könyveket. A görgetősávon mindig láthatod, hol tartasz, mintha csak egy nyomtatott könyvet tartanál a kezedben.

A MeRSZ+ funkciókért válaszd az egyéni előfizetést!

Folyamatos görgetés
Kivonat
fullscreenclose
printsave