Bevezetés a numerikus módszerekbe
12.2. Megoldás VDM segítségével
- Készítsük el a feladatot véges differencia módszer segítségével, jelen feladatban Microsoft Excel-t használunk a célra! A probléma minden további nélkül más környezetben is megoldható, például Matlab-ban, google docs-ban stb.
- Mivel a probléma gömbi koordináta-rendszerben egyszerűbben kezelhető, a Laplace-operátor így módosul általános esetben a derékszögű koordináta rendszerhez képest:
- Kihasználjuk a gömbszimmetriát (tehát a szögek szerinti deriváltak zérus értékűek lesznek), így (12.1) a következőképpen módosul:
- A hővezetés általános differenciálegyenletében alkalmazva a következőt kapjuk (szilárd testre, hőforrásmentes esetre, izotróp anyagra, csak a hővezetés jelenségét figyelembe véve).Diszkretizáljuk az (12.3) egyenletet, melynek bal oldalát előre haladó sémával, a jobb oldalát centrális sémával közelítjük:ahol i az egydimenziós geometria térbeli, k az időbeli lépést jelenti. A séma származtatását és matematikai tulajdonságait a jegyzet elmélettel foglalkozó része tartalmazza. Így (12.4) alapján meghatározható adott helyen a következő időlépés után vett hőmérséklet a következő módon:
- Alkalmazzuk a feladatban megadott harmadfajú peremfeltételt a falra:ahol a gömbszimmetrikusság miatt a gradiensnek csak sugárirányú komponense lesz. (12.6)-ban leírt peremfeltétel a diszkretizálását a (12.7)-ben leírtak szerint alkalmazzuk a korábbi gyakorlatnak megfelelően egy virtuális külső csomópont (segédpont) létrehozásával. Erre azért van szükség, hogy a gradiens operátort tudjuk használni úgy, hogy a belső pontokra nem írunk fel hőáramra vonatkozó kényszert, ezt a segédpontra írjuk elő:A (12.5) diszkretizációt a fal pontjára felírva, (12.7)-et Tw-1,k-ra rendezve a segédpont kiejthető. Ekkor az előzőekhez hasonlóan ügyelnünk kell a stabilitásra.
- Vegyük figyelembe, hogy a gömb középpontosan szimmetrikus, tehát ebben a pontban a hőáram zérus, így a belső és a közvetlen mellette lévő pontok hőmérséklete meg fog egyezni minden időlépés esetén, így (12.5)-ben egyúttal elkerüljük a szingularitást, ahol a 2/r tag okozna problémát! Tehát:Már csak a kezdeti feltételre lesz szükségünk, ami homogén módon 30 °C.
- A hálófüggetlenségi vizsgálat során beláttuk, hogy a 15 mm-es elemméret elégséges, azonban az egydimenziós feladatot 5 mm-es osztással oldottuk meg, ami a 12.9. ábrán látható. Hasonlítsuk össze a hőmérséklet-lefutást a végeselemes módszerrel kapott eredményekkel, ezt a 12.10. ábra szemlélteti.
- Számítsuk ki a 12.10. ábra alapján, hogy az egyes esetekben mennyi idő szükséges az alma belső pontjának 10 °C-ra való lehűtéséhez, majd értékeljük a kapott eredményeinket!VEM és VDM esetében keressük meg azt az időpillanatot lineáris interpoláció segítségével, ahol már a kívánt 10 °C hőmérséklet alá hűlt az alma!Az időfüggetlenségi vizsgálat eredményeképp látható, hogy VEM segítségével az automatikushoz képest a 48 másodperces időlépés gyorsabb lehűlést eredményez. Azonban a leggyorsabb lehűlést a VDM segítségével kaptuk. Ennek oka a numerikus módszerben keresendő, hiszen az alkalmazott megoldási módszer nem határozhatja meg a fizikai folyamatot, ami az alma hőátadáson keresztüli lehűlése. A három számítás alapján a középpont 10 °C alá hűléséhez a következő időtartamra van szükség:
- VEM – automatikus időlépés (dinamikusan változó): 24347 s,
- VEM – 48 s: 22376 s,
- VDM – 48 s: 21479 s.
Nézzük az analitikus közelítő összefüggés alapján az eredményt [31] alapján!
Tartalomjegyzék
- Bevezetés a numerikus módszerekbe
- Impresszum
- Elméleti rész
- Előszó
- 1. Bevezetés
- 2. Lineáris egyenletrendszerek
- 3. Nemlineáris egyenletek megoldása
- 4. Numerikus deriválás
- 5. Numerikus integrálás
- 6. Közönséges differenciálegyenletek
- 7. Stabilitás
- 8. Végeselemes alkalmazások
- A1 Függelék • A Lorenz-attraktor megoldásához használt MATLAB-kód
- A2 Függelék • Tisztán implicit diszkretizálású Fourier-egyenlet megoldásához használt MATLAB-kód
- A3 Függelék • A Fourier-egyenlet Θ-módszerrel való megoldásához tartozó MATLAB-kód
- A4 Függelék • A tranziens Fourier-egyenlet végeselemes megoldásához használt MATLAB-kód
- Irodalomjegyzék
- Előszó
- Példatár
- 9. A példák megoldására választott szoftverkörnyezet
- 10. A numerikus szimuláció lépései
- 11. Tranziens hővezetés 1D-ben és eredményértékelési lehetőségek egy elemi kocka példáján keresztül • Tranziens hőtani probléma
- 12. VEM, VDM, valamint közelítő analitikus megoldások összehasonlítása gömbi koordináta-rendszerben
- 13. Szigetelt gőzvezeték • Stacionárius hővezetés egy dimenzióban, optimalizálás
- 14. Bimetál • Kapcsolt stacionárius hővezetési-szilárdsági probléma
- 15. Kazánfal • Stacionárius hővezetési probléma kontakt hőellenállással, belső hőfejlődéssel és hősugárzással
- 16. Hűtött gázturbina lapát • Stacionárius hősugárzási-hőátadási probléma
- 17. Belső égésű motor dugattyúja • Tranziens hőátadási probléma
- 18. Processzor hűtőborda szimulációja hőcsővel és nélküle • Stacionárius hőátadási probléma
- Irodalomjegyzék a példatárhoz
- 9. A példák megoldására választott szoftverkörnyezet
Kiadó: Akadémiai Kiadó
Online megjelenés éve: 2019
ISBN: 978 963 454 335 0
Ez a jegyzet elsősorban a Kalorikus Gépek Numerikus Szimulációja tantárgy előadásaihoz tartozó segédanyagként készült szakdolgozat előtt álló BSc mérnökhallgatók számára.
Hivatkozás: https://mersz.hu/kovacs-jozsa-bevezetes-a-numerikus-modszerekbe//
BibTeXEndNoteMendeleyZotero