Polányi a fejezet második felében két részletes példát is említ a személyes tudás működésére, melyeket saját tudományterületéről hoz. A szemléletesebb a kémiai arányok törvényének a megállapításához kapcsolódik, vagyis ahhoz a kérdéshez, hogy a kémiai vegyületekben milyen arányban fordulnak elő a különböző elemek. A mérési folyamat ebben az esetben sem formalizálható teljesen, de az arányszámok megállapításával ellentétben itt legalább van még némi lehetőség szabályok megállapítására, amelyek segíthetnek kiszűrni a mérési hibákat. Arra azonban nincs semmiféle előzetes szabály, hogy a vegyületekben előforduló elemek egymáshoz viszonyított arányának egyszerű törteknek kellene lenniük. Éppen ellenkezőleg, sokkal pontosabb (objektívebb) arányszámokat kapnánk, ha nem ragaszkodnánk ahhoz, hogy a viszonyokat kifejező törteknek egyszerűeknek kell lenniük. Az egyszerű arányok választása önkényesnek tűnhet. A pontosság és az objektivitás azt kívánná meg, hogy ragaszkodjunk az olyan típusú eredményekhez, mint a 23/45, és ne egyszerűsítsük azokat önkényesen, szubjektív szempontok alapján pl. 1/2-re. Egy ilyen döntés viszont a tudomány további fejlődése ellenében hatott volna, mivel ezáltal nyílt meg a lehetőség a daltoni atomelmélet megalkotása előtt, amely a későbbiekben világossá tette az egyszerű arányok okát, mélyebb jelentését.