Kerékgyártó Györgyné, L. Balogh Irén, Sugár András, Szarvas Beatrix

Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági és társadalmi elemzésekben - Gyakorló feladatok

8. fejezet

Egy konzervgyárban a sűrített paradicsom töltését automata gép végzi. A dobozok névleges súlya 450 g, amitől csak véletlenszerű eltérések megengedettek. A töltési súly megengedett szórása 10 g. A súly szerinti eloszlás normálisnak tekinthető. A gyár az egyik szállítmányból 25 elemű mintát vett, a mintában a dobozok átlagsúlya 446 g volt, a szórás pedig 11 g.

Feladat:
1. Ellenőrizze a névleges töltősúlyra vonatkozó hipotézist 5%-os szignifikanciaszinten!
2. Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten, hogy a töltősúly szórása eleget tesz-e az előírásnak?
3. Ellenőrizze le a névleges töltősúlyra vonatkozó hipotézist 5%-os szignifikanciaszinten, feltéve, hogy a sokasági szórásról nem áll rendelkezésre információ!
4. Állapítsa meg és értelmezze az a) pont alatti esetben a p-értéket!
Egy önkiszolgáló bolt pénztárosát vásárlói bejelentések azzal vádolták, hogy általában többet számol. A pénztáros azzal védekezett, hogy csak véletlen tévedésekről lehet szó, mindkét irányban tévedhet, de ezek kiegyenlítik egymást. Egy ellenőrzés során 12 számláját vizsgálták meg véletlenszerűen, és az alábbi tévedéseket regisztrálták (A + értékek a vásárlók kárára történő tévedéseket jelölik).

+90;

+60;

−90;

+45;

+60;

−75;

0;

0;

+46;

0;

+200;

0

Feladat:

Feltételezve, hogy a tévedések normális eloszlást követnek, ellenőrizze 2%-os szignifikancia-szinten, hogy igaza van-e a pénztárosnak!
Egy szupermarketben fél kilogrammos darált húst árusítanak. A súly megengedett szórása 10 gramm. A Fogyasztóvédelmi Felügyelőség munkatársai 30 véletlenszerűen kiválasztott csomagot megmértek, és azt találták, hogy ezek súlyának átlaga 446 gramm, szórása 20 gramm. A csomagok súlya normális eloszlásúnak tekinthető.

Feladat:

Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten, hogy teljesül-e szórásra vonatkozó előírás!
Valamely parkolóház elmúlt évi üzemeltetési adatai szerint az átlagos parkolási idő 240 perc, a szórás 60 perc volt. Ez év januárjától 10%-kal emelték a parkolási díjat. Az áremelést követően 100 kocsiból álló véletlen mintából számított átlag 225 perc volt.

Feladat:

Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten azt az állítást, hogy csökkent az átlagos parkolási idő!
Egy piackutató intézet 120 budapesti síkölcsönzőre kiterjedő reprezentatív felvétele alapján a kölcsönzők egy idényben átlagosan 820-szor adják bérbe léceiket, a becsült szórás 250 bérbeadás. Budapesten 1600 síkölcsönző van, a szakértők szerint a piac összességében akkor lépi át a nyereségességi határt, ha egy szezonban a kölcsönzések száma eléri az 1264 ezret.

Feladat: Elfogadható-e ez alapján α=5% mellett, hogy a piac átlépi a nyereségességi küszöböt?
Egy részvény kockázatosságát a hozamok szórásával (is) jellemezhetjük. Minél nagyobb a hozamok szórása, annál kockázatosabb a papír. Egy alapkezelő olyan papírokat hajlandó bevenni a portfoliójába, ahol a napi hozamok szórása nem haladja meg az 5%-ot. (A %-os hozam az előző naphoz képest értendő). Öt papírt tesztelünk, 20-20 véletlenszerűen kiválasztott nap hozamával. A szórások rendre 4, 5, 6, 8, 11%.

Feladat:

Mely papírokat vehet be ezek alapján a portfoliójába 5%-os szignifikancia szinten? (A hozamok normális eloszlása feltételezhető.)
Egy exportáló cég akkor hajlandó átvenni egy szállítmány almát, ha a hibás darabok aránya nem haladja meg az 1%-ot. Az átvételkor 250 véletlenszerűen kiválasztott almát vizsgálnak meg, a hibás almák száma 4.

Feladat:

Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy a selejtarány nem haladja meg az 1%-ot!
Egy ebéd házhozszállításával foglalkozó cég gépkocsi járatai útvonalának összeállításához megrendelői közül 100 véletlenszerűen kiválasztott vevőt megkérdeztek, hogy 9 és 14 óra között mikor igényelné az ebéd házhozszállítását. A minta megoszlása:

Óra

Fő

9 – 10

12

10 – 11

18

11 – 12

26

12 – 13

24

13 – 14

20

Összesen:

100

Feladat:
1. Tekinthető-e egyenletes eloszlásúnak a megrendelők szállítási igénye (α = 5%)?
2. Elfogadható-e az az állítás, hogy az ebédet rendelők fele délig kívánja a házhozszállítást?
3. Mekkora a b) kérdés megoldásához tartozó empirikus szignifikancia-szint (p-érték)?

Óra	Fő
9 – 10	12
10 – 11	18
11 – 12	26
12 – 13	24
13 – 14	20
Összesen:	100

Egy közvéleménykutató intézet a foglalkoztatottak köréből származó mintáról azt állítja, hogy a minta legmagasabb iskolai végzettség szerinti összetétele megfelel a sokaság iskolai végzettségének.

Iskolai végzettség	A foglalkoztatottak
Iskolai végzettség	megoszlása, % 2001-ben	száma a mintában
Kevesebb, mint 8 általános	0,7	0
8 általános	16,5	200
Szakmunkásképző és szakiskola	33,0	300
Középiskola	32,5	340
Főiskola	10,3	100
Egyetem	7,0	60
Összesen	100,0	1000

Feladat:

Ellenőrizze, hogy reprezentatív-e a minta az iskolai végzettség szerint! (α = 5%)

Egy konzervgyárban az egyik gyümölcskonzerv névleges töltősúlya 500 g, a töltősúly szórása legfeljebb 10 g lehet. 100 elemű mintából ellenőrizzük a szállítmányt. A minta adatai:

Töltősúly

db

- 480
5

480 – 490

20

490 – 500

30

500 – 510

24

510 – 520

16

520 -
5

Összesen:
100

A mintából számított jellemzők: x ¯=499,1 gs=12,6 g

Feladat:
1. Tesztelje azt a hipotézist, hogy a konzervek töltősúly szerinti eloszlása normálisnak tekinthető! (α = 0,05)
2. A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltősúlyra és a szórásra vonatkozó előírás teljesülését! (α = 0,05)
Közlekedésbiztonsági szervek 1000 személyi sérüléses közúti balesetet vizsgáltak meg aszerint, hogy milyen súlyos volt a baleset és a baleset alkalmával a sérült viselt-e biztonsági övet. A kapott eredmények az alábbiak voltak:

Baleset

Övet

Összesen

viselt

nem viselt

Könnyű

510
120
630

Súlyos

120
150
270

Halálos
70
30
100

Összesen
700
300
1000

Feladat:
1. Ellenőrizze alkalmas próbával azt, hogy a baleset kimenetele független-e attól, hogy az illető viselt-e biztonsági övet! (α = 0,01)
2. Tételezzük fel, hogy 50 közúti baleset (megoszlása megegyezik az 1000 megfigyelésével) adatai alapján ellenőrzik a baleset kimenetele és a biztonsági öv viselésének kapcsolatát! Milyen döntést hoz a kapcsolat fennállására vonatkozóan?
3. Számítsa ki az a) és b) pontbeli mintaelemszámra is a Cramer mérőszámot és értékelje az eredményt!
Egy autóabroncsokat gyártó cég az új típusú abroncs kopásállóságának az ellenőrzése érdekében 10 gépkocsira új abroncsokat szerelt és 50000 km után megmérte a kopást. Az eredmények mm-ben:

1,2;
2;

1,7;
2,6;

1,1;
2,5;

2,3;
1,5;

2,1;
1,6.

A régi típusú abroncs kopása — ugyanennyi úton — 10 gépkocsi adatai alapján:

1,4;
2,1;

1,7;
2,9;

1,0;
3,4;

2,5;
1,7;

2,4;
2,0.

A kopás mértékének eloszlása normálisnak tekinthető.

Feladat:
1. Ellenőrizze a szórások azonosságára vonatkozó feltevést! (α = 5%)
2. Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy az új abroncs kopásállóbb! (α = 3%)
Egy budapesti egyetemen véletlenszerűen kiválasztanak 260 budapesti és 140 vidéki állandó lakóhelyű hallgatót és felmérik, hánynak vannak megélhetési gondjai. A budapestiek közül 60-an, a vidékiek közül 41-en válaszolnak igennel.

Feladat:

Tesztelje 5%-os szignifikancia szinten, egyformának tekinthető-e a budapestiek és vidékiek esetében a megélhetési gondokkal küzdők aránya!
Egy egészségügyi kutatócsoport öt különböző fogyókúra eljárást kívánt összehasonlítani. A vizsgálatra 25 túlsúlyos személyt kértek fel, akiket öt csoportba soroltak be. Egy hónapon keresztül alkalmazták az egyes eljárásokat. (Minden eljárás esetén feltételezhető a súlycsökkenés normális eloszlása és az egyes eljárások esetén a súlyveszteségek szórása között nincs szignifikáns különbség.)

Eljárás

Súlyveszteség, kg

A

13
16
16
15

15

B

7
4
7
8

9

C

12
8
6
9

10

D

6
10
5
7

7

E
9
11
13

11
11

Feladat:

Ellenőrizze, hogy van-e különbség az egyes eljárások között a hatékonyság szempontjából (α = 0,05)!
Egyik autómosó cégnél az elmúlt 3 év adatai alapján vizsgálták a hétvégi autómosások átlagos számát. A normális eloszlások és a szórások azonossága feltételezhető. A három független mintából végzett számítási eredmények:

Nap

Mosások

Mintanagyság

átlagos száma

szórása

Péntek
2200
650
120

Szombat
2200
625
120

Vasárnap
1900
600
120

Feladat:

Van-e különbség a három nap között az autómosások átlagos száma tekintetében?

(α = 0,05)