Farkas Richárd

Bevezetés a térökonometriába

4.1. A térbeli késleltetés modelljének (SLM model) formája

A szakirodalomban ezt a modelltípust vegyesen, térbeli késleltetés modellnek (SLM, spatial lag model) vagy térbeli autoregresszív modellnek (SAR, spatial autoregressive model) szokás nevezni. E könyvben a továbbiakban a térbeli késleltetés modell elnevezést fogjuk alkalmazni. Ennek oka, hogy amint az rögtön látható lesz, valóban hasonló a modell formája az idősoros ökonometria autoregressziós modelljéhez, a térbeli modellek esetén a későbbi fejezetekben látni fogjuk azonban, hogy a térbeli autoregresszió elnevezés megtévesztő lehet. A térbeli késleltetés modellje által kezelt probléma első megjelenési formája egyébként egy sztochasztikus differencia egyenletben manifesztálódott.1 A térbeli késleltetés modellje a következő formát ölti:

(4.1)

ahol

a függő változó megfigyeléseit gyűjtő vektor,

a térbeli súlymátrix, így

a függő változó értékeihez tartozó térben késleltetett értékeket gyűjtő vektor,

a térbeli autoregressziós paraméter,

a magyarázó változók megfigyelt értékeit tartalmazó mátrix,

a becsült koefficiensek vektora, míg

a hibatagokat gyűjtő vektor. A modell formájából ki is derül elnevezésének oka, hiszen a magyarázó változók közé a magyarázott változó térbeli késleltetése került. Ennek okán ez a modellforma feltételezi, hogy a magyarázott változó megfigyelt értéke adott területen függ a magyarázott változó más, szomszédos területen megfigyelt értékétől. Fontos azonban észben tartanunk, hogy

mátrix korábban megismert tulajdonságai miatt

és 𝑾 𝒚 vektorok soha nem egyeznek meg, így mindig fennáll a

egyenlőtlenség. Így ez a modell a térbeli függőségi viszonyok közül a (2.5.) és (2.6.) rendszerek által leírt problémát igyekszik megoldani. Intuitíven, ilyen kérdéskör a 2. fejezet végén az üzemanyagtöltő állomások árazási problémáiban fellelhető egymástól való függőség rendszere, vagy akár az ingatlanpiacon az ingatlanok árainak kialakulása.

Nyilvánvalóan, becslési szempontból meglehetősen kényelmetlen, hogy a magyarázott változó mind az egyenlet bal, mind az egyenlet jobb oldalán megtalálható. Kifejezve azonban a (4.1.) egyenletből az adatgeneráló folyamatot, a következő egyenlethez jutunk, mely már szokásos formában jeleníti meg a változókat és a paramétereket:

(4.2.)

ahol

egy, a térbeli súlymátrix rendjével azonos rendű egységmátrix.

Amennyiben a (4.1.) és (4.2.) egyenleteket mélyebben kezdjük vizsgálni, egy meglehetősen nagy problémába ütközünk, amely hatással van tulajdonképpen minden típusú, a későbbiekben is bemutatásra kerülő térbeli modell becslésére. A lineáris torzítatlan becslési módszerek közül a Gauss–Markov-tételek értelmében a legkisebb négyzetek módszere rendelkezik a legkisebb mintán belüli varianciával a becsült paraméterek tekintetében. Ennek okán a regressziós koefficiensek legjobb lineáris torzítatlan becslése a legkisebb négyzetek becslési módszerével adható meg. Ennek alkalmazhatósága azonban több előfeltétel érvényesülése esetén áll fenn. Maga a becslés kivitelezhetősége négy pilléren áll. Az első, hogy az

és

változók között létezzen valamilyen – esetünkben jellemzően – sztochasztikus kapcsolat, ahol az

összefüggés szigorúan lineáris formát ölt. A második feltétel a becslés kivitelezhetőségének szempontjából, hogy a minta, amelyen a vizsgálatot végezzük, véletlen mintavételi módszerrel állítódjon össze. A harmadik pedig, hogy a magyarázó változók ismérvváltozatai között legyenek olyanok, amelyek különböznek egymástól, vagyis

. Végezetül a negyedik, hogy az

mátrixnak teljes rangú mátrixnak kell lennie. Ez tulajdonképpen nem jelent mást a gyakorlatban, minthogy a magyarázó változók rendszere nem tartalmazhat tökéletes multikollinearitást. Ennek oka, hogy a legkisebb négyzetek módszerével megadott becslése a paraméterek vektorának közismerten a következő formát ölti:

(4.3.)

Abban az esetben, ha az

mátrix nem teljes rangú mátrix, akkor legalább egy oszlopvektora kifejezhető a többi oszlopvektora lineáris kombinációjaként. Ekkor viszont belátható, hogy az

mátrix nem invertálható, így a

vektor becslése nem adható meg. Amennyiben a multikollinearitás nem tökéletes, a legkisebb négyzetek módszerével végrehajtott becslés továbbra is torzítatlan marad, azonban kevésbé hatásossá válik.

Ahhoz, hogy a legkisebb négyzetek módszerével megadott paraméterbecslések valóban a legjobb lineáris torzítatlan becsléseket adják, a fentieken túlmenően két további feltétel kielégítése is szükséges. Ezek közül az első, hogy a hibatagoknak és a magyarázó változóknak egymásra ortogonálisnak kell lenniük. Más szavakkal a hibatagok magyarázó változókra kondicionált várható értékeinek nullával kell egyenlőnek lenniük, vagyis

. E feltétel az erős exogenitási feltétel, mely gyakorlati értelmezése szerint nem lehet összefüggés a magyarázó változók és a hibatagok között, a kettőnek függetlennek kell lennie egymástól. Míg az utolsó feltétel, hogy a hibatagoknak konstans varianciájúnak (homoszkedasztikusnak) és egymással autokorrelálatlannak kell lenniük, vagyis

. Ez utóbbi feltétel sérülése esetén a

paraméterbecslések továbbra is torzítatlanok maradnak, azonban a becslés már nem lesz hatásos.

A térökonometriai modellek esetén igazán nagy probléma, hogy a szigorú exogenitásra adott feltétel sérül, melyet a térbeli késleltetés modelljén illusztrálunk. Ehhez tekintsük újra a térbeli késleltetés modelljének (4.2.) egyenlettel leírt adatgeneráló folyamatát. Az egyenlet mindkét oldalát balról szorozva a térbeli súlymátrixszal a következő kifejezéshez jutunk:

(4.4.)

Mivel a térben késleltetett megfigyelések, vagyis a

vektor által tartalmazott értékek magyarázó változóként szerepelnek a (4.1.) térbeli késleltetés modelljében, így ahhoz, hogy a legkisebb négyzetek módszerével becsülhetők legyenek a paraméterek, e vektornak is exogénnek kell lennie. Az ortogonalitási feltétel fennállása a Hutchinson-becsléssel2 ellenőrizhető ez esetben:

(4.5.)

Az utolsó sorban látható mátrix nyoma azonban nem nulla, mivel a főátlójában lévő elemek nullától különböznek. Így viszont az exogenitási feltétel sérül, a legkisebb négyzetek módszerével adott becslések mind

, mind a

esetén torzítottá válnak.

További problémát okoz, hogy a térben késleltetett függő változó jelenlétében a becslőfüggvények aszimptotikus tulajdonságai is változnak a legkisebb négyzetek módszerével adott becslések során.3 Közismert tény, még az idősor elemzésben használatos olyan modellek esetén is, ahol a magyarázott változó időben késleltetett értékei is jelen vannak a modellben, hogy a legkisebb négyzetek módszerével adott becslések konzisztensek maradnak még akkor is, ha a kismintás becslések tulajdonságai változnak. Ennek ugyanis az a feltétele, hogy a hibatagok korrelálatlanok legyenek egymással. Amíg e feltétel fennál, a becslőfüggvények aszimptotikus tulajdonságaik miatt használhatók nagy minta esetén annak ellenére, hogy kismintás tulajdonságaik megváltoztak, mert torzítottakká váltak.

A térben késleltetett függő változó jelenlétében azonban más a helyzet, ott a probléma fokozottabban jelentkezik. Ez esetben ugyanis mind a térbeli paraméterre, mind a többi koefficiensre adott becslése a legkisebb négyzetek módszerének nemcsak torzítottá, de inkonzisztenssé is válik. Ennek áttekintéséhez vegyünk egy egyszerű térbeli autoregresszív folyamatot:

(4.6.)

Ekkor, alkalmazva a legkisebb négyzetek módszere által adott becslést, a (4.3.) egyenlet alapján

-ra a következő formulát kapjuk:

(4.7.)

Amennyiben behelyettesítjük az

-ra a sokasági paraméterekkel megadott (4.6.) kifejezést (4.7.) becslőfüggvénybe, a következő összefüggéseket kapjuk:

(4.8.)

Látható a (4.8.) összefüggésből, hogy hasonlóan az idősoros esethez, a térben késleltetett függő változó jelenlétében a legkisebb négyzetek módszerével adott becslés

-ra torzított. A konzisztensség két további feltételen múlik, melyek a következők:

(4.9.)

ahol

egy véges és invertálható mátrix. Az első feltétel a térbeli súlymátrixok struktúrájára és

értékére adott észszerű korlátok mellett teljesül. A második feltétel azonban ebben az esetben nem, hiszen valójában:

(4.10.)

A térbeli súlymátrix jelenléte miatt ez a kifejezés különbözik nullától azt az értelemszerű esetet leszámítva, amikor a modell tér nélkülivé redukálódik, vagy

. Így viszont a legkisebb négyzetek módszerével adott becslése

-nak nem csupán torzított kis mintán, de inkonzisztens is nagy mintán, vagyis a legkisebb négyzetek módszere nem alkalmazható a térbeli modellek esetén.

1	Részletes leírásért lásd Whittle (1954).
2	Hutchinson (1990).
3	A probléma kifejtése részletesebben megtalálható Anselin (1988b) munkájában. Teljesen általános, sokkal több mindenre kiterjedő útmutatás az aszimptotikus tulajdonságokról pedig Pace et al. (2010) tanulmányában található.

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 187 0

Földrajz Gazdaság

Napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő tudományterülete az empirikus modellezés ökonometriai-módszertani fejlesztése. E kérdéskörön belül is újnak számító terület a térökonometria, mely célja a megfigyelt adatok között tapasztalható területi kapcsolatok standard modellekbe való beillesztése, ezzel javítva a becslések pontosságát, hatékonyságát. A térbeli kapcsolatok fontosságának felismerése, és azok modellkörbe vonásának igénye egyre erőteljesebben jelenik meg szinte minden tudományterületen, túlmutatva a közgazdasági kutatásokon, mely módszertan alkalmazása hazánkban is egyre szélesebb körben érzékelhető. Ennek megfelelően, jelen monográfia célja kitölteni azt az űrt, melyet e részdiszciplína magyar nyelvű szakirodalmának szinte teljes hiánya teremt. Így e mű igyekszik áttekintést nyújtani a térökonometriai modellezés alapjairól: a térbeli kapcsolatok típusairól, matematikai interpretálhatóságáról és azok ökonometriai modellkörbe vonásának lehetőségeiről. A térbeli kapcsolatok alaptípusainak, az alapvető térökonometriai modelleknek, valamint modellszelekciós mechanizmusoknak, melyek amellett, hogy önmagukban is kiválóan alkalmasak elemzésekre, továbbá a haladó térökonometria bázisát is nyújtják, elméleti bemutatása mellett a szerző minden esetben igyekezett empirikus példákkal illusztrálni az elméleti modellek gyakorlati interpretálhatóságát.

Hivatkozás: https://mersz.hu/farkas-bevezetes-a-terokonometriaba//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero