Farkas Richárd

Bevezetés a térökonometriába


4.2.1. A térbeli késleltetés modell paramétereinek maximum likelihood becslése

Az előzőekben vázolt problémákra több megoldási lehetőség is adódik. Kézenfekvő megoldás, hogy míg a legkisebb négyzetek módszere a térökonometriai modellek esetén inkonzisztens becslést ad mind a térbeli paramérre, mind a regressziós paraméterekre, mind a standard hibákra, addig a maximum likelihood becslési módszer konzisztens marad a térbeli modellek esetén is e paraméterek tekintetében.1
A maximum likelihood módszer alkalmazásához feltételezzük a hibatagok független azonos eloszlását, és ez az eloszlás 0 várható értékű és konstans variancájú normál eloszlás, vagyis . A térbeli késleltetés (4.1.) modelljéből kifejezhető a hibatag a következő formában:
 
(4.11)
 
Ahhoz, hogy meg tudjuk határozni a megfigyelhető függő változó értékeinek eloszlását, a hibatag eloszlásából indulunk ki, hiszen arról feltételezzük, hogy 0 várható értékű, varianciájú normál eloszlás, vagyis sűrűségfüggvénye:
 
(4.12.)
 
Behelyettesítve a (4.11.) kifejezést a (4.12.) sűrűségfüggvénybe a következő kifejezés adódik:
 
(4.13.)
 
Amikor a hibatagok együttes eloszlásáról igyekszünk áttérni a megfigyelt változó értékeinek eloszlására, alkalmaznunk kell a valószínűség-eloszlások transzformálására vonatkozó eljárást:
 
(4.14.)
 
Mind (4.11.), mind (4.13.) sűrűségfüggvényből látszik, hogy ebben az esetben a vonatkozó Jacobi-mátrix eltér az egységmátrixtól. Ez a komplikáció a tér nélküli modellek esetén alkalmazott maximum likelihood becslési módszer végrehajtása közben nem jelentkezik, ott a vonatkozó Jacobi-mátrix egységmátrix, így determinánsa 1. Így viszont együttes sűrűségfüggvénye a következőképpen áll elő:
 
(4.15.)
 
ahol a (4.11.) hibafüggvény Jacobi-determinánsa. Ami ez esetben nem más, mint:
 
(4.16.)
 
amely kifejezés különbözik az egységmátrixtól a esetet leszámítva, amikor a modell tér nélkülivé redukálódik. A Jacobi-determináns ismeretében már felírható a függő változó eloszlására vonatkozó sűrűségfüggvény, mely a következő alakot ölti:
 
(4.17.)
 
A (4.17.) sűrűségfüggvény alapján szokásos módon adható meg a hozzá tartozó log-likelihood függvény:
 
(4.18.)
 
Az ismert optimalizációs eljárást követve a paraméterbecslések értékei a következő elsőrendű feltételek alapján számíthatók:
 
(4.19.)
A (4.19.) elsőrendű feltételek megadása során azonban kiderül, hogy ebben a formában és értékeinek van analitikusan megadható megoldása, azonban -nak nincs, hiszen a -ra vonatkozó elsőrendű feltétel nemlineáris, melyet így numerikus optimalizációval kalkulálhatunk. E folyamat a -ra adott becslőfüggvény nemlinearitása miatt egy igen érdekes és „trükkös” kihívás. Amennyiben a (4.19.) elsőrendű feltételeket nullával egyenlővé téve megoldjuk őket, a következő optimumhelyeket kapjuk és maximum likelihood becslésére vonatkozóan:
 
(4.20.)
 
Vegyük észre, hogy ha ismernénk értékét, akkor a (4.20.) becslések könnyen kiszámíthatók lennének. Ehhez alakítsunk egy kicsit becslőfüggvényén oly módon, hogy felbontjuk a zárójelet előtt. Ekkor a következő kifejezéshez jutunk:
 
(4.21)
 
A (4.21.) kifejezésből jól látszik, hogy a becslőfüggvényében lévő különbség tulajdonképpen legkisebb négyzetek módszerével történő becslése, ahol a függő változó vektora, míg a független változók mátrixa, miközben a különbség második tagja -szor a paramétervektor legkisebb négyzetek módszerével történő becslése, ahol a függő változó vektora és a független változók mátrixa. Így tehát:
 
(4.22.)
 
ahol azon, a legkisebb négyzetek módszerével végzett becslés paramétervektora, ahol az előzőek szerint a függő változó vektora , míg azon, a legkisebb négyzetek módszerével végzett becslés paramétervektora, ahol a függő változó . A (4.21.) kifejezést behelyettesítve maximum likelihood becslésébe belátható, hogy a meghatározott becslőfüggvény felírható éppen a (4.22.) kifejezés által meghatározott legkisebb négyzetek módszerével történő becslések hibatagjainak segítségével. Ehhez adjuk meg tehát e két becslésből származó hibatagokat:
 
(4.23.)
Ekkor a következő formát fogja ölteni:
 
(4.24.)
 
Amennyiben közelebbről megvizsgáljuk a (4.21.) és (4.24.) becslőfüggvényeket, látható, hogy értékét leszámítva mindegyikük csak az elérhető megfigyeléseinktől függ. Ha ismernénk értékét, probléma nélkül becsülhető lenne mind , mind értéke. E tényt felhasználva, helyettesítsük vissza ezeket a becslőfüggvényeket a (4.18.) log-likelihood függvénybe:
 
(4.25.)
A (4.25.) becslőfüggvény az úgynevezett koncentrált log-likelihood függvény, erre utal az egyenlet bal oldalán jelzett „” index is. E becslőfüggvény már csak -t tartalmazza ismeretlenként, így tulajdonképpen e koncentrált likelihood függvény fogja megadni maximum likelihood becslőfüggvényét, melynek formája a következő:
 
(4.26.)
 
A probléma azonban az, hogy (4.26.) elsőrendű feltétel megoldása nem adható meg analitikusan, hiszen magas fokú nemlinearitás jellemzi. Így e függvényből értéke numerikus optimalizálással számítandó. Ezen információk fényében már meghatározhatjuk tehát a térbeli késleltetés modellje esetén a regressziós paraméterek maximum likelihood becslésének folyamatát:
  1. A legkisebb négyzetek módszerének felhasználásával becsüljük meg és értékeket a (4.21.) egyenlet alapján megállapítottak szerint:
     
(4.27.)
 
  1. Számítsuk ki e kiegészítő regressziós becslések hibatagjait a (4.23.) egyenletek alapján.
  2. Numerikus optimalizálással keressük meg értékét a (4.26.) elsőrendű feltétel segítségével.
  3. Helyettesítsük be értékét a (4.22.) egyenletbe, hogy megkapjuk értékét.
  4. Helyettesítsük be értékét a (4.24.) egyenletbe, hogy megkapjuk értékét.
  5. és segítségével állítsuk elő a variancia-kovariancia mátrixot:
 
(4.28.)
 

Bevezetés a térökonometriába

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 187 0

Napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő tudományterülete az empirikus modellezés ökonometriai-módszertani fejlesztése.  E kérdéskörön belül is újnak számító terület a térökonometria, mely célja a megfigyelt adatok között tapasztalható területi kapcsolatok standard modellekbe való beillesztése, ezzel javítva a becslések pontosságát, hatékonyságát. A térbeli kapcsolatok fontosságának felismerése, és azok modellkörbe vonásának igénye egyre erőteljesebben jelenik meg szinte minden tudományterületen, túlmutatva a közgazdasági kutatásokon, mely módszertan alkalmazása hazánkban is egyre szélesebb körben érzékelhető. Ennek megfelelően, jelen monográfia célja kitölteni azt az űrt, melyet e részdiszciplína magyar nyelvű szakirodalmának szinte teljes hiánya teremt. Így e mű igyekszik áttekintést nyújtani a térökonometriai modellezés alapjairól: a térbeli kapcsolatok típusairól, matematikai interpretálhatóságáról és azok ökonometriai modellkörbe vonásának lehetőségeiről. A térbeli kapcsolatok alaptípusainak, az alapvető térökonometriai modelleknek, valamint modellszelekciós mechanizmusoknak, melyek amellett, hogy önmagukban is kiválóan alkalmasak elemzésekre, továbbá a haladó térökonometria bázisát is nyújtják, elméleti bemutatása mellett a szerző minden esetben igyekezett empirikus példákkal illusztrálni az elméleti modellek gyakorlati interpretálhatóságát.

Hivatkozás: https://mersz.hu/farkas-bevezetes-a-terokonometriaba//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave