Farkas Richárd

Bevezetés a térökonometriába

4.2.2. A térbeli késleltetés modell paramétereinek becslése térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével (S2SLS)

A maximum likelihood becslési módszer kétségtelenül népszerű, ugyanakkor mindenképpen érdemes megismerkedni egy másik eljárással, mely szintén az endogenitási problémák kezelésére hivatott. Már csak azért is, mert a maximum likelihood módszer a vizsgált változók eloszlásának ismeretét követeli meg, vagy legalább a változó eloszlásának ismeretére vonatkozóan valamilyen feltételezést. Az endogenitásból eredő torzítás kezelésére egy másik kiváló lehetőség az instrumentális változók becslési eljárása, melynek kivitelezésére a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere hivatott. E módszer alkalmazhatósága abban az esetben kifejezetten előnyös, ha a modellben a térben késleltetett magyarázó változó mellett olyan független változók is szerepelnek, melyekről gyanítható, hogy endogének, vagyis a modell a következő formát ölti:

(4.29.)

ahol

az endogén magyarázó változók megfigyeléseinek mátrixa, míg

az ezen változókhoz tartozó regressziós paraméterek vektora. A térben késleltetett magyarázó változó okozta problémákat, ahogy azt az előző szakaszban láthattuk is, a maximum likelihood becslési módszer képes kezelni, azonban a további endogén magyarázó változók jelenlétéből eredő gondokat nem, az az instrumentális változók becslési eljárásával oldható meg. Mint ismeretes, az instrumentumok kiválasztása során figyelembe kell vennünk a következő feltételeket, melyek szükségesek az adott változó instrumentumként történő alkalmazhatóságához.

Az instrumentumként alkalmazni kívánt változónak korrelálatlannak kell lennie a regressziós hibataggal, vagyis
search
, ahol
search
az instrumentális változókat is tartalmazó magyarázó változókat gyűjtő mátrix.
Az instrumentumok és az endogén magyarázó változók közötti korrelációnak nullától szignifikánsan különbözőnek kell lennie, vagyis
search
.ahol
search
egy nem szinguláris, teljes rangú mátrix.
Az instrumentumok között nem figyelhetünk meg multikollinearitást, vagyis
search
, ahol
search
egy pozitív definit mátrix.

Amennyiben a fentebb említett feltételeknek megfelelő instrumentumokat találunk, akkor az instrumentális változók becslési eljárását alkalmazhatjuk, annak végrehajtását pedig a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével elvégezhetjük (2SLS módszer). A térben késleltetett magyarázó változó specialitása miatt a térökonometriai modellek esetén is alkalmazható becslési módszer kialakításához a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének kiterjesztésére volt szükség, így születetett meg a térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek becslési módszere (S2SLS).

Ebben az esetben az egyszerűbb interpretálhatóság miatt írjuk át a modellünket a következő, a szakirodalomban gyakran használatos formára:

(4.30.)

ahol

a redukált formájú regresszióban az exogén és endogén változókat egyaránt tartalmazó mátrix, míg ennek megfelelően

] az eredeti paramétervektorokat gyűjtő vektor.

A kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének első lépéseként az endogén változók és az instrumentális változók között kell regressziós kapcsolatot teremtenünk, melyet a legkisebb négyzetek módszerével becsülünk meg. Ugyanezt az utat követi a térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere is, formálisan:

(4.31.)

Vegyük észre, hogy az a tény, hogy mind

, mind pedig

mátrix tartalmazza

-et, nem okoz problémát, hiszen amikor

azon elemei lesznek regresszálva

mátrixon, amelyek eredetileg benne voltak

mátrixban, egyszerűen saját magukat, vagyis

-et fogják eredményezni, így az

mátrix változóira nem képződnek új instrumentális változók. Követve a legkisebb négyzetek módszerét, adódik, hogy:

(4.32.)

A becslési módszer első lépésének zárásaként

segítségével képeznünk kell

-re vonatkozóan a modell által becsült értékeket:

(4.33.)

Ahogy a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének is, a térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének is második lépése az, hogy az eredeti függő változó és az előbb számított

mátrix között felírható regressziós egyenletet megbecsüljük a legkisebb négyzetek módszerével. Ekkor a (4.30.) egyenletben

paramétervektorra a következő összefüggés adódik:

(4.34.)

Behelyettesítve a (4.33.) összefüggés által

-re kapott kifejezést a (4.34.) egyenletbe, majd az így kapott becslőfüggvényen átalakításokat végezve megkapjuk a

paramétervektorra vonatkozó teljes összefüggést, miszerint:

(4.35)

ahol

a jól ismert projekciós mátrix. Ekkor szokásosan alkalmazott egyszerűsített felírás mellett azt mondhatjuk, hogy a becslés instrumentuma:

(4.36.)

és így a

paramétervektorra adott becslés a következő formát ölti:

(4.37.)

Mint minden esetben, itt is szükségünk van a variancia-kovariancia mátrix előállításához arra, hogy az inferenciavizsgálatokat el tudjuk végezni. Amennyiben feltételezhetjük a hibatagokról, hogy homoszkedasztikusak és korrelálatlanok egymással, akkor a legkisebb négyzetek módszeréből kiindulva, hasonlóan a paramétervektorok becsléséhez, a varianciára vonatkozóan a következő összefüggést kapjuk:

(4.38.)

Ebből a varianciára vonatkozó becslőfüggvény, visszahelyettesítve

értékét a (4.38.) egyenletbe:

(4.39.)

Amennyiben a hibatagok homoszkedaszticitása és korrelálatlansága nem feltételezhető, akkor a heteroszkedaszticitásra és autokorrelációra robusztus standard hibák előállításához a variancia becslése a következő kifejezés segítségével történik:1

(4.40.)

amely kifejezés becslése oly módon történik, hogy jobb oldali szorzatának középső tényezője tartalmazza a becsülendő tagot. Ez legyen

összefüggés szerint megadva. Ekkor

(4.41.)

Természetesen, az instrumentális változók becslési eljárása akkor is alkalmazható, ha nincsen addicionális endogén magyarázó változó a modellben, tehát eredeti,

(4.42.)

formájára redukálódik, hiszen az endogenitási probléma a térben késleltetett

tag jelenléte miatt ekkor is fennáll. Ebben az esetben a kulcstényező a

mátrix kiválasztásában rejlik a tekintetben, hogy az abban foglalt instrumentumok jól korrigálják a

vektor endogenitásából származó problémákat. Az instrumentumok kiválasztása esetünkben tipikusan összefügg az endogén és az exogén magyarázó változók közötti kapcsolattal, jelesül előbbinek az utóbbira kondicionált várható értékével:

(4.43.)

Hasonlóan az egynél kisebb kvóciensű végtelen mértani sorokhoz, a fenti kifejezés inverz mátrixáról

esetén megmutatható, hogy:

(4.44.)

vagyis:

(4.45.)

Ennek ismeretében viszont a (4.43.) feltételes várható érték átírható a következő formára:

(4.46.)

A (4.46.) feltételes várható érték kifejezése azt sejteti, hogy az exogén magyarázó változók magasabb rendű térbeli késleltetései meglehetősen jó instrumentumoknak tűnnek. A gyakorlatban egyébiránt nagyon sok esetben valóban ezek a változók kerülnek az instrumentumok szerepébe, így a

mátrix a következő formákat szokta ölteni:

vagy

, és így tovább. Egy másik irányzat2 magát a feltételes várható értéket javasolja instrumentumként, így ebben az esetben a

mátrix a következőképpen áll elő:

Általánosságban elmondható a két becslési módszer viszonyáról, hogy annak eldöntése, melyik lesz a megfelelőbb, mindig az adott problémán múlik. A hibatagok homoszkedaszticitása esetén a maximum likelihood módszer jóval precízebbnek tűnik az instrumentális változók becslési eljárásánál. Heteroszkedaszticitás esetén azonban a maximum likelihood becslőfüggvény elveszti tulajdonságait, ekkor csak a térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere marad konzisztens. A térben késleltetett magyarázó változók melletti további endogén magyarázó változók jelenléte esetén szintén a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével végrehajtott instrumentális változók becslési eljárása a célravezető.

1	A variancia konzisztens becslésének leírását heteroszkedasztikus hibatagok esetén lásd White (1980).
2	Lee (2003).

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 187 0

Földrajz Gazdaság

Napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő tudományterülete az empirikus modellezés ökonometriai-módszertani fejlesztése. E kérdéskörön belül is újnak számító terület a térökonometria, mely célja a megfigyelt adatok között tapasztalható területi kapcsolatok standard modellekbe való beillesztése, ezzel javítva a becslések pontosságát, hatékonyságát. A térbeli kapcsolatok fontosságának felismerése, és azok modellkörbe vonásának igénye egyre erőteljesebben jelenik meg szinte minden tudományterületen, túlmutatva a közgazdasági kutatásokon, mely módszertan alkalmazása hazánkban is egyre szélesebb körben érzékelhető. Ennek megfelelően, jelen monográfia célja kitölteni azt az űrt, melyet e részdiszciplína magyar nyelvű szakirodalmának szinte teljes hiánya teremt. Így e mű igyekszik áttekintést nyújtani a térökonometriai modellezés alapjairól: a térbeli kapcsolatok típusairól, matematikai interpretálhatóságáról és azok ökonometriai modellkörbe vonásának lehetőségeiről. A térbeli kapcsolatok alaptípusainak, az alapvető térökonometriai modelleknek, valamint modellszelekciós mechanizmusoknak, melyek amellett, hogy önmagukban is kiválóan alkalmasak elemzésekre, továbbá a haladó térökonometria bázisát is nyújtják, elméleti bemutatása mellett a szerző minden esetben igyekezett empirikus példákkal illusztrálni az elméleti modellek gyakorlati interpretálhatóságát.

Hivatkozás: https://mersz.hu/farkas-bevezetes-a-terokonometriaba//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero