Farkas Richárd

Bevezetés a térökonometriába

6.1.1. A térbeli autoregresszív kombinált modell paramétereinek becslése maximum likelihood módszerrel

A maximum likelihood becslési módszer segítségével előállítható becslőfüggvényekhez szokásosan szükségünk van a likelihood függvényre. Ennek felírásához hívjuk segítségül a (6.1.) modellt:

(6.8.)

ahol a hibatag

variancia-kovariancia mátrixa természetesen diagonális, és elemei rendre:

(6.9.)

A korábbiaknak megfelelően a (6.8.) modell második egyenlete a következő formára írható át:

(6.10.)

Mivel

diagonális, létezik egy olyan homoszkedasztikus

random hibatagvektor, melyre fenáll, hogy:

(6.11.)

mely egyszerűen átrendezhető

-ra:

(6.12.)

A (6.12.) kialakításával és visszahelyettesítésével az eredeti (6.1.) modellbe, a következő formához jutunk:

(6.13.)

A modellnek e (6.13.) formája viszont már egy független, standard normális, homoszkedasztikus hibatagot tartalmaz, így a likelihood, majd a log-likelihood függvény előállítható. Ehhez helyettesítsük vissza a hibatagot, ezzel előállítva a következő modellformát:

(6.14.)

A (6.14.) egyenletet

-ra rendezve megkapjuk az adatgeneráló folyamatot, amely nem más, mint:

(6.15.)

Ezzel a modellformával már el tudjuk kezdeni szokásosan a log-likelihood függvény kialakítását. Először is, ahogyan mind a térbeli késleltetés, mind a térbeli hiba modelljének esetén, alkalmaznunk kell a valószínűség-eloszlások transzformációjára vonatkozó összefüggést, ahol a Jacobi-determináns szokásosan:

(6.16)

A (6.15.) egyenlet könnyen

-ra rendezhető, a jobb oldal első tagjának kivonása, majd az egyenlet mindkét oldalának először

-gyel, majd

-vel balról szorzása után:

(6.17.)

Amelyből pedig azonnal látszik a Jacobi-determináns, mely nem más, mint:

(6.18.)

Ezzel már minden információ a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy a log-likelihood függvényt előállítsuk:

(6.19.)

ahol

az eddigieknek is megfelelően nem más, mint a hibatagok négyzetösszege. Továbbá, a (6.19.) egyenletekből jól látszik, hogy továbbra is fennáll, hogy a likelihood függvény maximalizálása tulajdonképpen ekvivalens a hibatagok négyzetösszegeinek minimalizálási problémájával. A különbség a tér nélküli esethez képest annyi, hogy a likelihood függvény a modellek tulajdonságaiból eredően korrigálásra került a Jacobi-determinánsokkal. Ugyanakkor, ezek a Jacobi-determinánsok, szemben a tér nélküli esettel, különböző problémákhoz is vezethetnek a térbeli modellek esetén. Természetesen a probléma az egyszerűbb struktúrájú térbeli késleltetés, valamint térbeli hiba modelljének esetén is előfordulhat, azonban mivel a térbeli autoregresszív kombinált modell e változatok közül a legáltalánosabb, itt kerülnek a nehézségek tárgyalásra.

A maximum likelihood becslés aszimptotikus tulajdonságait csak akkor tudja megtartani, ha annak regularitási feltételei fennállnak. Ez azonban a térbeli modellek esetén további korlátok kikötését teszi szükségessé a tér nélküli struktúrákhoz képest. Mind

, mind pedig

mátrixok néhány paraméter esetében olyan becsléseket eredményezhetnek restrikciók nélkül, melyek egyre nagyobb oszcillációhoz vezetnek a modellek esetében. Másrészről,

esetén előfordulhat, hogy nem felel meg a pozitív definitás feltételének, amely újabb problémákat idéz elő a maximum likelihood becslés alkalmazása során.

Ezek elkerüléséhez szükséges, hogy a

(6.20.)

feltétel fennálljon. A (6.20.) általános feltétel szétbontható parciális feltételekre. E parciális feltételek teljesítése automatikusan biztosítja, hogy a (6.20.) egyenlőtlenség igaz legyen. Ezek rendre:

(6.21.)

A (6.20.) teljesülése tulajdonképpen a térbeli regressziós paraméterekre vonatkozó korlátokban manifesztálódik. Jelesül, sorstandardizált térbeli súlymátrixok esetén

és

paraméterek értéke egynél kisebb értéket vehet fel.

A fentieket követően így tehát megadható a likelihood függvény maximalizálásához tartozó elsőrendű feltételrendszer:1

(6.22.)

A fenti (6.22.) egyenletrendszer analitikusan nem oldható meg, így numerikus optimalizálást igényel. Ennek okán azonban a maximum likelihood becslése a paramétereknek, azok minden pozitív tulajdonsága ellenére, olyan számítástechnikai nehézségeket okozhat egyes esetekben, melyek miatt ilyenkor egyéb, alternatív becslési megoldásokra lehet szükség.

1	Az elsőrendű feltételekhez tartozik még egy negyedik feltétel is, mely a hibatagra vonatkozó search vektort adja meg. Bonyolultsága okán ennek közlésétől most eltekintünk, az egyenlet megtalálható Anselin (1988b) munkájában.

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 187 0

Földrajz Gazdaság

Napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő tudományterülete az empirikus modellezés ökonometriai-módszertani fejlesztése. E kérdéskörön belül is újnak számító terület a térökonometria, mely célja a megfigyelt adatok között tapasztalható területi kapcsolatok standard modellekbe való beillesztése, ezzel javítva a becslések pontosságát, hatékonyságát. A térbeli kapcsolatok fontosságának felismerése, és azok modellkörbe vonásának igénye egyre erőteljesebben jelenik meg szinte minden tudományterületen, túlmutatva a közgazdasági kutatásokon, mely módszertan alkalmazása hazánkban is egyre szélesebb körben érzékelhető. Ennek megfelelően, jelen monográfia célja kitölteni azt az űrt, melyet e részdiszciplína magyar nyelvű szakirodalmának szinte teljes hiánya teremt. Így e mű igyekszik áttekintést nyújtani a térökonometriai modellezés alapjairól: a térbeli kapcsolatok típusairól, matematikai interpretálhatóságáról és azok ökonometriai modellkörbe vonásának lehetőségeiről. A térbeli kapcsolatok alaptípusainak, az alapvető térökonometriai modelleknek, valamint modellszelekciós mechanizmusoknak, melyek amellett, hogy önmagukban is kiválóan alkalmasak elemzésekre, továbbá a haladó térökonometria bázisát is nyújtják, elméleti bemutatása mellett a szerző minden esetben igyekezett empirikus példákkal illusztrálni az elméleti modellek gyakorlati interpretálhatóságát.

Hivatkozás: https://mersz.hu/farkas-bevezetes-a-terokonometriaba//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero