Farkas Richárd

Bevezetés a térökonometriába


6.1.2. A térbeli autoregresszív kombinált modell paramétereinek becslése az általánosított térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével

A fentebb említett probléma előfordulása esetén, illetve amennyiben a maximum likelihood becslés egyéb előfeltételei sérülnek, nyújt megoldást az általánosított térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (Generalized Spatial Two Stage Least Squares, GS2SLS). Az előző fejezetekben láthattuk, hogy a térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének segítségével hogyan határozódtak meg a regressziós paraméterek. A modellek struktúrájából adódóan ez esetben is hasonlóan kell eljárnunk. A (6.1.) modell paraméterétől függetlenül továbbra is konzisztensen becsülhetők paramétervektor elemei. Követve a térbeli késleltetés és térbeli hiba modelljeinél alkalmazott eljárásokat, írjuk át a térbeli autoregresszív kombinált modellt a következő formára:
 
𝒚 = 𝒁 𝜹 + 𝜖
(6.23.)
 
ahol , míg . A modellben jelen formában nem szerepelnek a térben késleltetett változón túlmenően további endogén változók, azonban a 4.2.2. alfejezetben leírtak szerint járhatunk el akkor, ha ilyen változókat is figyelembe kell vennünk. Jelesül, további endogénnek tekintett magyarázó változó esetén mátrix tartalmazná az előzőekben bevezetett endogén magyarázó változókat gyűjtő mátrixot, míg ennek megfelelően paramétervektort.
Ne felejtsük azonban el, hogy azokban a modellekben, melyek a térbeli hiba modelljének jegyeit is tartalmazzák, el kell végeznünk a térbeli Cochrane–Orcutt-transzformációt, hiszen (6.23.) modell ez esetben is ekvivalens a következővel:
 
(6.24.)
 
A térbeli szűrőn átesett változókkal felírva, az előző fejezetben alkalmazott jelölések továbbvitelével így a következő regressziós egyenlethez jutunk:
 
(6.25.)
 
ahol szintén az eddigieknek megfelelően: , míg kifejezéssel egyezik meg.
Első lépésben tehát, követve az előző fejezetekben bemutatott módszereket, meghatározzuk paramétervektort a következő regressziós egyenletben:
 
(6.26.)
 
Ekkor paramétervektor becslése a következőképpen adható meg a szokásos formulával:
 
(6.27.)
 
Mind a térbeli, mind a tér nélküli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének eljárásrendje szerint ezek után előállításra kerül mátrix annak érdekében, hogy a második becslést is el tudjuk végezni:
 
vagyis
(6.28.)
 
A kapott értékekkel a szokásos módon végrehajtjuk a becslési módszer második lépését:
 
(6.29.)
 
Értelemszerűen, ahogyan azt korábban is láthattuk, (6.28.) összefüggés (6.29.)-be való helyettesítésével, majd ezután némi átalakítást eszközölve megkapjuk paramétervektor becslését:
 
(6.30.)
 
Miután konzisztens becslést kaptunk a paramétervektor által tartalmazott koefficiensekre, amelyek között, ne feledjük, is szerepel, hiszen a függő változó térbeli késleltetése is jelen van a modellben, a térbeli hiba modelljéhez hasonlóan a becslést hatásossá is kell tenni.
Mivel a becslési eljárást alapvetően az határozza meg ebben az esetben, hogy a hibatag is rendelkezik valamilyen térbeli struktúrával, a momentumfeltételek is a térbeli hiba modelljéhez hasonlóan fognak alakulni, természetesen a megfelelő térbeli súlymátrixok alkalmazásával:
 
(6.31.)
 
Itt azonban szintén azzal a problémával szembesülünk, hogy az idioszinkratikus értékeket nem tudjuk megfigyelni. Elvégezve a térbeli Cochrane–Orcutt-transzformációt a térbeli függőséget is tartalmazó hibatagon, és behelyettesítve a (6.31.) egyenletrendszerbe a térbeli hiba modell esetén tárgyalt eljárással analóg módon a következő adódik:
 
(6.32.)
 
A (6.32.) egyenletrendszer által , és paraméterek értéke megbecsülhető. Ahogy (5.35.), (5.36.), valamint (5.37.) egyenletek esetén is alkalmaztuk, legyen:
 
és
(6.33.)
 
Ekkor, az (5.36.) minimumfeladat esetében már megismertek szerint, a következő nemlineáris legkisebb négyzetek módszerével megoldandó probléma megadja vektor becsült elemeit:
 
(6.34.)
 
Az így megkapott becsült paraméter segítségével utolsó lépésben pedig előállítjuk paramétervektor konzisztens és hatásos becslését, mely, ne feledjük, ez esetben a , térben késleltetett függő változóhoz tartozó térbeli koefficienst is tartalmazza. A (6.24.) modellformának elemzésekor láthattuk, hogy amennyiben paraméter ismert lenne, akkor paramétervektor a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével nemcsak konzisztensen, de hatásosan is becsülhető lenne, hiszen el tudnánk végezni a térbeli Cochrane–Orcutt-transzformációt a pontos lambda értékkel. E ponton viszont, a momentumfeltételekből származó egyenletek segítségével meghatároztuk lambda értékét, így már becsülhető paramétervektor (6.25.) egyenlet alapján a következők szerint:
 
(6.35.)
 
Ekkor konzisztens és hatásos becslőfüggvénye az általánosított térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével megadva:
 
(6.36.)
 
ahol a (6.28.) összefüggésnek megfelelően .
A fentebb leírt eljárást összegezve tehát a térbeli autoregresszív kombinált modell paramétereinek általánosított térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével történő becsléséhez az alábbi lépések elvégzése szükséges:
  1. A térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével adjuk meg értékét anélkül, hogy elvégeztük volna a térbeli Cochrane–Orcutt-transzformációt. Ezzel megkapjuk vektort, amely paramétervektor egy konzisztens, de nem hatásos becslése.
  2. Számítsuk ki ennek a modellnek az vektor által gyűjtött hibatagokra vonatkozó becsléseit.
  3. A térbeli súlymátrix () és a becsült hibatagok () felhasználásával a (6.32.) momentumfeltételekből álló egyenletrendszer segítségével meg tudjuk adni a konzisztens becslését a térbeli paraméternek a nemlineáris legkisebb négyzetek módszerével.
  4. A konzisztens térbeli paraméter birtokában a (6.36.) becslőfüggvény segítségével adjuk meg paramétervektor konzisztens és hatásos becslését.
 

Bevezetés a térökonometriába

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 187 0

Napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő tudományterülete az empirikus modellezés ökonometriai-módszertani fejlesztése.  E kérdéskörön belül is újnak számító terület a térökonometria, mely célja a megfigyelt adatok között tapasztalható területi kapcsolatok standard modellekbe való beillesztése, ezzel javítva a becslések pontosságát, hatékonyságát. A térbeli kapcsolatok fontosságának felismerése, és azok modellkörbe vonásának igénye egyre erőteljesebben jelenik meg szinte minden tudományterületen, túlmutatva a közgazdasági kutatásokon, mely módszertan alkalmazása hazánkban is egyre szélesebb körben érzékelhető. Ennek megfelelően, jelen monográfia célja kitölteni azt az űrt, melyet e részdiszciplína magyar nyelvű szakirodalmának szinte teljes hiánya teremt. Így e mű igyekszik áttekintést nyújtani a térökonometriai modellezés alapjairól: a térbeli kapcsolatok típusairól, matematikai interpretálhatóságáról és azok ökonometriai modellkörbe vonásának lehetőségeiről. A térbeli kapcsolatok alaptípusainak, az alapvető térökonometriai modelleknek, valamint modellszelekciós mechanizmusoknak, melyek amellett, hogy önmagukban is kiválóan alkalmasak elemzésekre, továbbá a haladó térökonometria bázisát is nyújtják, elméleti bemutatása mellett a szerző minden esetben igyekezett empirikus példákkal illusztrálni az elméleti modellek gyakorlati interpretálhatóságát.

Hivatkozás: https://mersz.hu/farkas-bevezetes-a-terokonometriaba//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave