Farkas Richárd

Bevezetés a térökonometriába

8.2.1. Területi heterogenitás a függő változó és a hibatag térbeli késleltetéseivel

Amikor a területi heterogenitást leíró modelleket alkalmazzuk térbeli függőségi viszonyt is a rendszerbe építve, akkor tulajdonképpen az előzőekben bemutatott térbeli rezsimváltó modelleket egészítjük ki az előző fejezetekben megismert területi interakciókat is tartalmazó modellekkel. Ennek megfelelően, a térbeli heterogenitás rendszerének a térbeli késleltetés modelljének mintájára bővített verziója a következő formát ölti:

(8.5.)

A (8.5.) specifikáció esetében azzal a feltételezéssel élünk, hogy a rezsimek meghatározása mellett a térbeli függőségre vonatkozó viszony az egész adatállományra vonatkozóan ugyanaz. Sok esetben azonban e feltételezést érdemes feloldani. Ekkor (8.5.) modell tovább bővíthető rezsimek szerint változó térbeli paraméterekkel, sőt szomszédsági viszonyokkal a következők szerint:

(8.6.)

Ezen a ponton fontos kitérnünk a térbeli súlymátrixok tulajdonságaira. Amennyiben (8.5.) modellt tekintjük, a térbeli súlymátrix a jól ismert tulajdonságokkal rendelkezik. Az alternatív (8.6.) specifikáció esetében azonban két különböző lehetőséget kell figyelembe vennünk. Az első, melyben minden

súlymátrix egyedileg, az adott rezsimre vonatkozóan van kialakítva. Ekkor e rezsimspecifikus mátrixok tulajdonképpen ugyanúgy viselkednek, mint az eddigiekben alkalmazott súlymátrixok.

Felmerülhetnek olyan esetek is azonban, amikor sem a teljes mintát magába foglaló térbeli súlymátrix nem megfelelő, hiszen az megengedi a rezsimek közötti interakciókat, sem pedig a rezsimenként konstruált mátrixok nem indokoltak. Ilyenkor a térbeli súlymátrix a következő formát veszi fel:

(8.7.)

Nagyon fontos különbség, hogy

mátrix nem azonos a (8.6.) modell esetén alkalmazott,

és

mátrixokból összeállított mátrixszal.

mátrix esetén ugyanis a rezsimekhez tartozó súlymátrixok tulajdonképpen a teljes minta szomszédsági viszonyait leíró

mátrix megfelelő részmátrixai. Ez jelentős különbség, mert ez utóbbi esetben például „k” legközelebbi szomszédság típusú súlymátrix esetén igen könnyen előfordulhat, hogy a megfigyelési egységek egy részének nincsen

számú szomszédja, amennyiben pont a rezsim határán vagy ahhoz közel vannak. A (8.6.) specifikáció esetén, mivel rezsimenként kerülnek a térbeli súlymátrixok megalkotásra, itt a „kieső” szomszédok helyébe az adott rezsimen belül újak lépnek. A

mátrixszal alkotott modellre azonban ez nem igaz, ott egyszerűen részmátrixokat képzünk. Ekkor a határokon lévő megfigyelések elveszítik szomszédaik egy részét.

Mivel a térbeli interakciót nem tartalmazó területi rezsimváltó modellhez hasonlóan a térbeli késleltetés beépítésével itt is csupán ennyi eltérés adódik, a becslési eljárás során ugyanazokat a módosításokat kell alkalmaznunk, mint a térbeli késleltetés modelljénél. Így tehát e specifikáció becsülhető maximum likelihood módszerrel. Amennyiben ez a becslési eljárás nem alkalmazható, akkor az instrumentális változókra vonatkozó térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerének eljárása alkalmazandó.

A területi heterogenitás modelljét nem a térbeli késleltetés, hanem a térbeli hiba modelljének irányába bővítve a következő összefüggéshez jutunk:

(8.8.)

Természetesen, az eddigiekhez hasonlóan, a hibatagra vonatkozó összefüggést redukált formára hozva, az behelyettesíthető az első rendszerbe, ezzel megkapva a modell adatgeneráló folyamatát:

(8.9.)

A térbeli késleltetés modellbe foglalásához hasonlóan sok esetben itt is indokolt feltételezni, hogy nemcsak a rezsimek jellemzői, de a rajtuk átívelő térbeli folyamatok is különböznek. Ekkor a modell az előzőekhez hasonlóan a következőképp alakul:

(8.10.)

Hasonlóan ahhoz az esethez, amikor a rezsimek között a térbeli interakciók típusát nem különböztettük meg, itt is kifejezhető az adatgeneráló folyamat:

(8.11.)

A térbeli hiba autoregressziós rezsimváltó modellje az eddigieknek megfelelően a rezsimeket nem definiáló specifikációk iránymutatása szerint becsülhető. Ennek megfelelően a maximum likelihood becslési eljárás alkalmazandó. Ennek nem megfelelősége esetén a térbeli hiba modelljénél megismert általános momentumok módszere vagy a momentumok általánosított módszere követendő.

Az előzőekből következően a területi rezsimeket definiálva felírt modell tartalmazhat olyan folyamatokat is, melyek a térbeli autoregresszív kombinált modell interakcióit vonják az elemzési körbe. Ekkor a modell az eddigiekhez hasonlóan módosul, azonban figyelembe kell vennünk, hogy mind a függő változó térbeli késleltetését tekintve, mind a hibatag térbeli késleltetését átgondolva alkalmazhatunk az egész mintára vonatkozó, valamint a rezsimekre külön alkalmazott térbeli súlymátrixokat. Ez értelemszerűen négy különböző esetet határoz meg. Az első, melyben

mátrixot hívjuk segítségül mind a magyarázott változó, mind a hibatag tekintetében:

(8.12.)

A modell adatgeneráló folyamata a térbeli késleltetés modelljéből kiindulva, a (8.11.) egyenlethez hasonló módon fejezhető ki.

Valamelyest árnyaltabb képet kapunk, amikor kiterjesztjük a modellt a fentebb írtaknak megfelelően a térbeli interakciók sokszínűségét is figyelembe véve. Ekkor elsőként lehetőségünk van arra, hogy a függő változó térben késleltetett értékéhez definiáljunk különböző térbeli kapcsolatokat. A (8.10.) egyenletek ekkor a következőképp módosulnak:

(8.13.)

Értelemszerűen, a hibatag oldaláról is közelíthetjük a modellezendő problémát a bonyolultabb térbeli interakciós struktúrával. Ekkor a hibataghoz tartozóan adunk meg különböző kapcsolati folyamatokat a következők szerint:

(8.14.)

Amennyiben kombináljuk a (8.13.) és (8.14.) modellkiterjesztéseket, eljutunk a negyedik lehetőséghez a térbeli autoregresszív kombinált modell tekintetében. Ez nem más, mint amikor megengedjük, hogy mind a függő változó térben késleltetett értékei esetén, mind pedig a hibatag tekintetében rezsimenként változzon a térbeli interakciók struktúrája. Formálisan ekkor a következő modellhez jutunk:

(8.15.)

A (8.15.) egyenletek ebben az esetben természetszerűleg a legáltalánosabb lehetőséget mutatják be. Intuíció mentén a modellezőnek lehetősége van arra is, hogy hogy a

mátrixok közül valamelyek megegyezzenek, ekkor egyszerűbb kapcsolati hálót definiálva. Ilyen eset lehet példának okáért, amikor mind a függő változó térben késleltetett értékeit, mind a hibatag térbeli késleltetéseit tekintve rezsimenként eltérő kapcsolatrendszert feltételezünk, azonban azt nem, hogy a függő változó és a hibatag kapcsolatrendszerei között is adódnak különbségek. Ekkor értelemszerűen

, míg

egyenlőségek érvényesülnek. Érdemes azonban megjegyezni, hogy a gyakorlatban nem tűnik észszerűnek az a feltételezés, hogy amennyiben mind a függő változó, mind pedig a hibatag térben késleltetett értéke szerepel a modellben, akkor ezek térbeli interakciói más tulajdonságokkal rendelkezzenek. Így szinte kizárólag olyan becslésekkel találkozhatunk, ahol vagy (8.12.), vagy pedig (8.15.) specifikációt alkalmazzák, ez utóbbi esetében a fentebb már tárgyalt

és

korlátozásokkal.

A területi heterogenitással kapcsolatos, korábbi modellek implentációjánál ismertetett tények a térbeli autoregresszív kombinált modell esetén is fennállnak. Így ebben a szituációban sem indokolt a becslési eljárások változtatása. Ebből következően, a területi heterogenitás feltételezése mellett e modellek is becsülhetők a maximum likelihood módszerrel, valamint általánosabb esetben az általánosított térbeli kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerével.

Jelen könyv logikájából kiindulva a továbbiakban azok a modellek kerülnek bemutatásra, ahol a térbeli heterogenitás olyan környezetben jelenik meg, ahol az elemzendő probléma alapvetően valamilyen térbeli Durbin-típusú specifikációt igényelne. Az első ilyen jellegű tárgyalásra került modell az SLX modell volt a megelőző fejezetben. Amennyiben területi heterogenitás jelenlétét indokolt feltételezni, az SLX modell formája a következőképp alakul, folytatva két rezsimet megkülönböztető példánkat:

(8.16.)

A (8.16.) egyenlet már a bővítettebb térbeli struktúrát tartalmazza. Ahogy az eddigiekben is, itt is felírható a modell olyan formában, amely azt feltételezi, hogy a térbeli súlymátrix a teljes mintán átívelően írja le a térbeli kapcsolatokat. A specifikáció ekkor a következő formára redukálódik:

(8.17.)

Ahogy az a (8.16.) és (8.17.) modellek közötti összefüggésből, valamint a térbeli heterogenitás eddig leírt modelljeiből adódik, a többi térbeli Durbin-típusú modell esetén is mindig megkülönböztethetjük azokat a szituációkat, amelyekben a mintán átívelő térbeli kapcsolati struktúrát feltételezünk azokkal szemben, amikor rezsimenként különbözőeket látunk indokoltnak. Mivel e modellek térbeli súlymátrixaira vonatkozó tulajdonságok megegyeznek az eddig tapasztaltakkal, ezért az intuitív különbségek tárgyalásra fognak kerülni, azonban a modellegyenletek felírását e megkülönböztetéseknél a továbbiakban mellőzni fogjuk.

Ahogy eddig is, a rezsimek megjelenése ebben az esetben sem módosítja a becslési eljárás típusát. Ennek megfelelően, ahogyan az SLX modell tárgyalásakor megismertük, a (8.16.) és (8.17.) modellek a megfelelő feltételek fennállása esetén a legkisebb négyzetek módszerével becsülhetők. Indokolt esetben a szakirodalom korábban is említett eljárásrendje szerint e modellcsalád a nemlineáris legkisebb négyzetek módszerével is közelíthető.

Az SLX modellnek a függő változó térben késleltetett értékével történő bővítésével jutottunk el a térbeli Durbin-modellhez. Ahogy az előzőekben is, e modell is megjelenhet olyan körülmények között, ahol alapvetően a területi heterogenitás elemzési környezetéből kell kiindulnunk. A (8.16.) modell ekkor a következőképpen módosul:

(8.18.)

A (8.18.) modell szokásosan, maximum likelihood módszerrel becsülhető a 7. szakaszban leírtaknak megfelelően. Amennyiben (8.16.) modellt a hibatag térbeli késleltetésének irányába mozdítjuk, akkor újfent eljutunk egy térbeli Durbin-hiba specifikációhoz. E modell formáját tekintve, teljesen egybevágva az eddigiekkel, a térbeli Durbin-hibamodell és a rezsimváltó modellek tulajdonságait egységesíti:

(8.19.)

Nem meglepően, az utolsó modellbővítés a térbeli autoregresszív kombinált modell irányába történik, amikor is „Durbin-környezetben” alkalmazzuk mind a függő változó, mind pedig a hibatag térben késleltetett értékeit. Ekkor juthatunk el jelen könyv talán legkomplexebbnek mondható modelljéhez, mely a területi heterogenitás mellett felírt általános térbeli modell. E modell a következő formát ölti:

(8.20.)

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 187 0

Földrajz Gazdaság

Napjaink egyik legdinamikusabban fejlődő tudományterülete az empirikus modellezés ökonometriai-módszertani fejlesztése. E kérdéskörön belül is újnak számító terület a térökonometria, mely célja a megfigyelt adatok között tapasztalható területi kapcsolatok standard modellekbe való beillesztése, ezzel javítva a becslések pontosságát, hatékonyságát. A térbeli kapcsolatok fontosságának felismerése, és azok modellkörbe vonásának igénye egyre erőteljesebben jelenik meg szinte minden tudományterületen, túlmutatva a közgazdasági kutatásokon, mely módszertan alkalmazása hazánkban is egyre szélesebb körben érzékelhető. Ennek megfelelően, jelen monográfia célja kitölteni azt az űrt, melyet e részdiszciplína magyar nyelvű szakirodalmának szinte teljes hiánya teremt. Így e mű igyekszik áttekintést nyújtani a térökonometriai modellezés alapjairól: a térbeli kapcsolatok típusairól, matematikai interpretálhatóságáról és azok ökonometriai modellkörbe vonásának lehetőségeiről. A térbeli kapcsolatok alaptípusainak, az alapvető térökonometriai modelleknek, valamint modellszelekciós mechanizmusoknak, melyek amellett, hogy önmagukban is kiválóan alkalmasak elemzésekre, továbbá a haladó térökonometria bázisát is nyújtják, elméleti bemutatása mellett a szerző minden esetben igyekezett empirikus példákkal illusztrálni az elméleti modellek gyakorlati interpretálhatóságát.

Hivatkozás: https://mersz.hu/farkas-bevezetes-a-terokonometriaba//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero