Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

IV.2.5.9. Diszkrét idejű PID-szabályozók tervezése

A szakasz folytonos idejű átviteli függvényének megfelelő egységugrás-ekvivalens diszkrét idejű átviteli függvény a Matlab

utasításával számítható:

Ts = 1/10;

WP_DI = c2d(WP,Ts);

Tapasztalataink szerint 10 Hz mintavételi frekvenciát célszerű választani a megépített szerkezet viselkedése miatt: kicsi mintavételi frekvencián (például 5 Hz) a rúd mozgása túlságosan darabos, ami nagy hibát eredményez a szabályozásban; nagyobb mintavételi frekvencián (például 20 Hz) a mozgás túl gyors, remegő, a labda esetenként pattog a rúdon, ami szintén kerülendő. A 10 Hz-es mintavétel mellett a rúd nem rángat, a labda nem pattog, a mozgás sebessége is megfelelő a szabályozáshoz. Ezek után,

mintavételi periódusidő mellett kapjuk, hogy

A szakasz átviteli függvényének diszkrét idejű Bode-diagramja szaggatott vonallal a IV.43. ábrán látható.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3274/#m1437lreszaum_3274 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3274/#m1437lreszaum_3274)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3274/#m1437lreszaum_3274)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.43. ábra. A szakasz és a felnyitott kör Bode-diagramja mintavételes PD-szabályozó és PID-szabályozó esetében.

A P- és a PI-szabályozókkal a folytonos idejű vizsgálatoknál szerzett tapasztalatok értelmében itt nem foglalkozunk.

A diszkrét idejű PD-szabályozó átviteli függvénye

(IV.81)

konkrétan a folytonos idejű szabályozó

paraméterét használva

aminek

szerint az alábbi differenciaegyenlet felel meg:

erősítés a felnyitott kör

átviteli karakterisztikájának Bode-diagramja alapján határozható meg a folytonos idejű szabályozó tervezésével analóg módon (IV.43. ábra). A felnyitott kör fáziskarakterisztikája maximális értékéhez tartozó körfrekvenciánál választjuk meg az amplitúdókarakterisztika értékét egységnyinek, meghatározva ezáltal az

vágási körfrekvencia értékét is. A fáziskarakterisztikán ezt a pontot külön megjelöltük. A konkrét értékek a IV.8. táblázatban találhatók. A tervezést Matlab környezetben végezzük:

WC1_DI = tf(-1*[1 -exp(-Ts/TD)],[1 0],Ts); % PD

WC2_DI = tf(-1*conv([1 -exp(-Ts/TI)], ... % PID

[1 -exp(-Ts/TD)]),conv([1 -1],[1 0]),Ts);

[mag,phase,w] = bode(WC_DI*WP_DI); % WC_DI=WC1_DI vagy WC_DI=WC2_DI

[ph,i] = max(phase(1:end-1));

K = 1/mag(i)

WC_DI = K*WC_DI

A mikrovezérlőben a hibaszámítást követően a szabályozójelet a következő programrész állítja elő:

u = -22.6*error+20.45*error_old;

error_old = error;

IV.8. táblázat. A mintavételes PD- és PID-szabályozókkal kapott adatok összefoglalása.

Szabályozó	search	search	K
PD	2 ,85	54 ,48	22 ,6
PID (1)	4 ,59	39 ,56	39 ,09
PID (2)	3 ,94	42 ,04	32 ,85

A diszkrét idejű PID-szabályozó átviteli függvénye

(IV.82)

A folytonos idejű szabályozó

paramétereit használva

aminek az alábbi differenciaegyenlet felel meg:

A szabályozó erősítésének tervezése a PD-szabályozó erősítésének meghatározásával megegyező módon történik (végeredményt (1) jelzéssel l. a IV.8. táblázatban).

A folytonos idejű PID-szabályozóhoz hasonlóan a diszkrét idejű PID-szabályozóhoz is nagyobb

vágási körfrekvenciaérték tartozik, vagyis a PID-szabályozó a PD-szabályozónál gyorsabb működést biztosít mintavételes esetben is. A folytonos idejű modellnél említett okok miatt célszerű a

választással implementálni a szabályozót (l. a (2) jelzésű PID-szabályozót a IV.8. táblázatban):

aminek az alábbi differenciaegyenlet felel meg:

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3307/#m1437lreszaum_3307 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3307/#m1437lreszaum_3307)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3307/#m1437lreszaum_3307)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.44. ábra. A mintavételes PD-szabályozó állandósult állapotban nagy hibával követi a referenciajelet.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3309/#m1437lreszaum_3309 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3309/#m1437lreszaum_3309)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3309/#m1437lreszaum_3309)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.45. ábra. A PID-szabályozó stabil és pontos irányítást tesz lehetővé.

A mikrovezérlőben mindezt a következő programrészlet realizálja:

u = u_old-32.85*error+60.04*error_old-27.44*error_old2;

u_old = u;

error_old2 = error_old;

error_old = error;

A IV.44. ábrán és a IV.45. ábrán a folytonos idejű rendszer vizsgálatakor bemutatotthoz hasonló módon a 80 mm, 120 mm és 160 mm referenciajelre adott mért és számított ugrásválaszok összehasonlítása látható a PD-szabályozásra és a PID-szabályozásra. A szabályozások viselkedése értelemszerűen hasonló a folytonos idejű megoldásokhoz: a PD-szabályozó a tényleges fizikai rendszeren pontatlan eredményt ad maradó statikus hibával, habár a stabilizálást a zárt kör megoldja; a PID-szabályozó a fizikailag megépített rendszeren is pontos statikus válaszjelet szolgáltat. Az utóbbi zárt szabályozási kör itt is nem minimumfázisú rendszerként viselkedik, jelentősen lassítva a szabályozást.

A PID-szabályozás jelen berendezésnél megismert hátránya miatt rátérünk a kaszkádba kapcsolt PI-PD-szabályozó mintavételes megvalósítására, amely a IV.46. ábrán látható. A rendszer a folytonos idejű szabályozóhoz hasonló módon néz ki: a belső zárt kört a szakasz és a negatívan visszacsatolt diszkrét idejű PD-szabályozó alkotja; efelett egy szintén negatívan visszacsatolt diszkrét idejű PI-szabályozó áll a külső zárt körben. A belső kör felel a stabilizálásért, a külső kör pedig ezt pontossá teszi.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3318/#m1437lreszaum_3318 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3318/#m1437lreszaum_3318)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3318/#m1437lreszaum_3318)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.46. ábra. A kaszkád PI-PD-típusú szabályozást megvalósító zárt szabályozási kör.

A belső kör szabályozója ugyanaz a diszkrét idejű PD-szabályozó, amelynek paramétereit fentebb már behangoltuk:

A belső kör (IV.80) átviteli függvénye alapján tervezhető a külső PI-szabályozó

időállandóval:

erősítést előírt

fázistartalékra tervezve:

ekkor

és

. A kaszkád szabályozó külső köre a Bode-diagram segítségével az alábbi átviteli függvényekkel tervezhető Matlab környezetben:

WCL_DI = c2d(WCL,Ts);

WC_kulso_DI = tf(1*[1 -exp(-Ts/TI)],[1 -1],Ts);

bode(WC_kulso_DI*WCL_DI);

Az így előálló kaszkád PI-PD-rendszer már nem mutatja a IV.39. ábrán látható hátrányos viselkedést. A 80 mm, 120 mm és 160 mm referenciajelre adott mért és számított ugrásválaszok a IV.42. ábrán láthatóak.

A kaszkád szabályozást megvalósító programsorok az alábbiak, ahol a változókat is frissítjük:

error = Ref-r/1000.0;

Ref1 = Ref1_old+0.8453*error-0.6838*error_old;

error1 = Ref1-r/1000.0;

u = -22.6*error1+20.45*error1_old;

Ref1_old = Ref1;

error_old = error;

error1_old = error1;

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3339/#m1437lreszaum_3339 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3339/#m1437lreszaum_3339)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3339/#m1437lreszaum_3339)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.47. ábra. A kaszkád PI-PD-szabályozó stabil és pontos irányítást tesz lehetővé.

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero