Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

IV.2.5.10. Mintavételes kétszabadságfokú szabályozó tervezése

A mintavételes kétszabadságfokú szabályozóval megvalósított szabályozási rendszer blokkvázlata a IV.48. ábrán látható, az ábrán az egyes jelek

-transzformáltjait és az átviteli függvényeket is feltüntettük. A pozícióreferencia és a golyó mért távolságának

-transzformáltja

és

, a beavatkozó jel

-transzformáltja pedig

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3343/#m1437lreszaum_3343 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3343/#m1437lreszaum_3343)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3343/#m1437lreszaum_3343)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.48. ábra. A kétszabadságfokú szabályozó blokkvázlata.

A szakasz mintavételes modelljének átviteli függvénye

(IV.83)

A számláló és a nevező relatív prímek, azaz nincs közös osztójuk.

A szabályozó két blokkból, egy visszacsatoló

és egy előrecsatoló

blokkból áll, a tervezendő három polinom pedig

és

. A tervezés során meg kell határozni az egyes polinomok fokszámát és a polinomegyütthatókat.

Az irodalomban a polinomok

és

jelölése terjedt el, itt is ezt használjuk. Emiatt kapott a referenciajel és a rendszer kimenőjelének transzformáltja ref, illetve r indexet, mert az

jelölést ezekben a z-transzformáltakban is meg kívánjuk tartani.

A blokkvázlat alapján felírható a beavatkozó jel és a kimeneti jel

-transzformáltja:

(IV.84)

átrendezve pedig mindkettő kifejezhető a referenciajel

-transzformáltjával:

(IV.85)

A tervezés több lépésből áll, ezeket a következőkben részletezzük.

A tervezés első lépéseként elő kell írni a zárt rendszer referenciamodelljének kívánt átviteli függvényét

alakban, azaz

(IV.86)

ahol

a polinomfokszám esetleges bővítését biztosító polinom (az indexben szereplő o betű az observer, vagyis megfigyelő szóra utal, a polinom neve pedig megfigyelőpolinom vagy observerpolinom).

A zárt kör

referenciamodelljét a domináns póluspár megadásával definiálhatjuk a folytonos időben, amit aztán át kell vinni a diszkrét idejű megfelelőjébe. A domináns póluspár egy konjugált komplex pár az alábbi jelölésekkel:

(IV.87)

ahol

és

jelöli a komplex póluspár valós és képzetes részét, továbbá

és

a póluspár csillapítási tényezője és sajátfrekvenciája.

A domináns póluspár paraméterei tervezhetők a zárt rendszer ugrásválaszának

túllövése és a

szabályozási idejének megadásával (példaként itt

-os sávot megadva):

(IV.88)

(IV.89)

A referenciamodellhez esetleg szükséges további pólusokat és a megfigyelő polinomjához szükséges gyököket az alábbi ökölszabály szerint adhatjuk meg:

(IV.90)

így ezek a pólusok gyorsabbak lesznek a domináns póluspárnál. Ezen pólusok szerepére visszatérünk.

A domináns póluspár és a további pólusok megadása tehát a folytonos időben történik, a szabályozótervezés viszont diszkrét időben. Szükséges tehát a fenti pólusoknak megfelelő diszkrét idejű pólusok meghatározása a

(IV.91)

összefüggés értelmében, amelyhez a

mintavételi periódusidő is szükséges. Jelen alkalmazásban

Ahogy a PID-szabályozótervezésnél már láthattuk, a gyors szabályozás gyorsan változó és esetenként nagy jelei rángathatják a rudat, ami a labda pattogásához vezethet. Ezt kerülendő, célszerű olyan domináns póluspárt választani, amely mellett a szabályozás pontos és kielégítő sebességű. A IV.49. ábrán

és

, valamint

értékekhez tartozó domináns póluspárral kapott ugrásválaszjelek láthatóak. A

értéknél nagyobbat ennél az elrendezésnél semmiképp sem érdemes választani, mivel túl nagy lengések alakulnak ki, illetve a rúd mozgása nagyon gyors. Ez az ábrából is jól kivehető. A

jó választás lehet, a labda mozgása sima, a szervo a rudat nem rángatja, a működés kielégítő.

Megjegyezzük, hogy a fent említett

érték megválasztását néhány próba előzte meg. Nagyobb érték esetén (például

) a szabályozás lassú, a szabályozó erősítései túl kicsi értékek. Csökkentve a szabályozási idő értékét (például

), azt tapasztalható, hogy a szabályozó erősen rángatja a rudat, a labda pattog a rúdon, a szervo pedig a nagy jelek miatt sokszor telítésbe kerül, a működés előnytelen.

A mechanikai kialakítás miatt tehát a

és

választás alkalmasnak bizonyul. Emellett

és

, továbbá a diszkrét idejű pólusok a

átalakítást követően

A fenti pólusok a következőképp számíthatók Matlab utasításokkal:

Tsz = 2.5;

dv = 5/100;

xi = 1/sqrt(1+(pi/log(dv))^2);

w0 = 3/Tsz/xi;

p1 = exp((-xi*w0 + sqrt(-1)*w0*sqrt(1-xi^2))*Ts);

p2 = exp((-xi*w0 - sqrt(-1)*w0*sqrt(1-xi^2))*Ts);

pcinf = exp(-3*w0*Ts);

poinf = exp(-5*w0*Ts);

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3382/#m1437lreszaum_3382 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3382/#m1437lreszaum_3382)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3382/#m1437lreszaum_3382)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.49. ábra. A zárt kör ugrásválasza különböző domináns póluspár mellett.

A következő tervezési lépésben a polinomokkal foglalkozunk. A

polinom felbontható

alakban, ahol

és

a kiejthető és a nem kiejthető zérusokat tartalmazza, azaz (deg jelöli a polinom fokszámát (degree))

Nem kiejthető az egységsugarú körön kívüli zérus és a negatív valós tengelyre eső zérus. Kiejthető az ezekkel komplemens halmaz, l. IV.50. ábra.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3387/#m1437lreszaum_3387 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3387/#m1437lreszaum_3387)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3387/#m1437lreszaum_3387)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.50. ábra. A

és

polinomok gyökeinek elhelyezkedése a komplex számsíkon.

Az integrátorok száma legyen először

. A szakaszmodell kétszeres integráló jellegű, emiatt azt várhatjuk, hogy nincs szükség az integrátor beépítésére.

A zárt kör (IV.86) alakban felírt átviteli függvényét a következőképp lehet átalakítani annak érdekében, hogy a kiejthető tagokkal egyszerűsíteni tudjunk:

ahol az

és a

polinomokat írtuk át. Az

polinom a szabályozó nevezőjében szerepel, ahova az integrátort

alakban be lehet vinni. Végeredményben

(IV.92)

Az első egyenletből a

polinom egyszerűen kiadódik. Utóbbi egy diophantoszi egyenlet, melynek megoldásai az

és az

polinomok.

A tervezés során tehát az alábbi diophantoszi egyenletet kell megoldani (

(IV.93)

A polinomok fokszámára a következő feltételek érvényesek:

azaz a polinomok a következő alakban írhatók fel:

értékét a végértéktétel értelmében úgy állítjuk be, hogy stacionárius állapotban a zárt rendszer egységugrásjelre egységnyi értékkel válaszoljon.

Az egyes polinomokat rendezve kapjuk a diophantoszi egyenletben szereplő polinomokat:

amelyekkel

Kifejtve

változó egyforma hatványaihoz tartozó együtthatókat egyenlővé téve írható fel az alábbi egyenletrendszer, amely az ismeretlen kitevőket szolgáltatja:

Nagyobb méretű mátrix esetén a Matlab programban kihasználható, hogy az egyenletrendszer mátrixa ún. Töplitz-blokkokból áll. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a kérdéses együtthatókat:

majd az

polinom együtthatói mellett megkapjuk az

és a

polinomokat is:

Az implementálás során (IV.84) helyett az alábbi formulát célszerű alkalmazni:

(IV.94)

aminek az alábbi differenciaegyenlet felel meg:

Az Arduino környezetben a kódrészlet az alábbi:

u = -R[1]*u_old+T[0]*Ref+T[1]*Ref_old-S[0]*r/1000.0-S[1]*r_old/1000.0;

Ehhez a program elején az alábbi tömböket kell definiálni:

float R[2] = {1.0000, -0.2583};

float S[2] = {-12.5689, 11.3341};

float T[2] = {-2.1259, 0.8912};

A változók frissítését itt nem ismételjük meg.

A 80 mm, 120 mm és 160 mm referenciajelre adott mért és számított ugrásválaszok szokásos jellege a IV.51. ábrán látható.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3426/#m1437lreszaum_3426 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3426/#m1437lreszaum_3426)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3426/#m1437lreszaum_3426)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.51. ábra. A kétszabadságfokú szabályozó integrátor nélkül stabil, de pontatlan irányítást eredményez (

Az integrátorok száma legyen ezután

, így az egységugrás jellegű referenciajel pontos követése is lehetségessé válik a laboratóriumi modellen is.

A tervezés során az alábbi diophantoszi egyenletet kell megoldani:

(IV.95)

A polinomok fokszámára a következő feltételek érvényesek:

azaz a polinomok a következő alakban írhatók fel:

Az egyes polinomokat rendezve kapjuk a diophantoszi egyenletben szereplő polinomokat:

amelyekkel

változó egyes hatványaihoz tartozó együtthatókat egyenlővé téve írható fel az alábbi egyenletrendszer, amely az ismeretlen kitevőket szolgáltatja:

Az egyenletrendszert megoldva az együtthatók az alábbiak:

, az

és a

polinomok pedig:

alaknak megfelelő differenciaegyenlet végül az alábbi:

Az Arduino környezetben a kódrészlet az alábbi:

u = -R[1]*u_old-R[2]*u_old2+T[0]*Ref+T[1]*Ref_old+T[2]*Ref_old2

-S[0]*r/1000.0-S[1]*r_old/1000.0-S[2]*r_old2/1000.0;

Ehhez a program elején az alábbi tömböket kell definiálni:

float R[3] = {1.0000, -0.8929, -0.1071};

float S[3] = {-46.7249, 84.9149, -38.9072};

float T[3] = {-2.1259, 1.7823, -0.3736};

A változók frissítését itt nem ismételjük meg.

A 80 mm, 120 mm és 160 mm referenciajelre adott mért és számított ugrásválaszok a IV.52. ábrán láthatóak. A bevitt integrátor egyértelműen javítja a stacionárius válasz jellegét.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_3456/#m1437lreszaum_3456 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3456/#m1437lreszaum_3456)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_3456/#m1437lreszaum_3456)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

IV.52. ábra. Az integrátorral kiegészített kétszabadságfokú szabályozó stabil és pontos irányítást tesz lehetővé (

A teljesség kedvéért listázzuk a fenti számításokat végző Matlab programrészletet:

i = 0; % vagy i = 1

Bminus = [WP_DI.num{1}(2) WP_DI.num{1}(3)];

Bplus = 1;

A = WP_DI.den{1};

% Fokszámfeltételek előírása

degAm = 1 + 1;

degS = 2 + i - 1;

degAo = 2 + i - 1;

degR1v = 1;

Am = poly([p1 p2 ones(1,degAm-2)*pcinf]);

Ao = poly(ones(1,degAo)*poinf);

% A diophantoszi egyenlet

int = 1;

for j = 1:i

int = conv(int,[1 -1]);

end

alfa = conv(A,int);

beta = Bminus;

gamma = conv(Am,Ao);

dioA = [toeplitz(alfa,1),...

toeplitz([beta zeros(1,i+1)],[beta(1) zeros(1,i+1)])];

dioB = gamma(2:length(gamma))'-[alfa(2:length(alfa)) 0]';

x = dioA\dioB;

R1v = [1 x(1)];

S = x(2:length(x))';

Bmv = polyval(Am,1)/polyval(Bminus,1);

T = Bmv*Ao;

R = conv(conv(Bplus,int),R1v);

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero