Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel


II.2.1. A rendszer fogalma és néhány típusa

A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag leírhatjuk annak működését, elvégezhetjük analízisét. A rendszermodell a modellalapú szabályozótervezésben alapvető.
Az II.5. és II.6. fejezetekben néhány konkrét fizikai objektum modellezésével és analízisével foglalkozunk, itt az elméleti eredményeket foglaljuk össze tömören.
A rendszert általánosan egy dobozként szokás felrajzolni, ahogy az a II.6. ábrán látható. A rendszert érő külső hatás a rendszer vagy bemenete, más néven gerjesztése, s a rendszer ezen gerjesztésre vagy válasszal reagál, amely a rendszer kimenete. Az előzőekben tárgyalt folytonos idejű és diszkrét idejű jelek tehát a rendszer bemenetei és kimenetei is lehetnek.
 
II.6. ábra. Folytonos idejű és diszkrét idejű SISO és MIMO rendszer általános ábrázolása.
 
A rendszer a bemeneteket kimenetekké transzformálja, azaz adott gerjesztésekhez adott válaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik és kimeneteik száma alapján két fő csoportba sorolhatjuk: SISO rendszerek, MIMO rendszerek.
A SISO rendszer (single input single output) egybemenetű és egykimenetű rendszer. Ezen rendszerek egyetlen gerjesztéshez egyetlen választ rendelnek, amit az
 
(II.14)
 
gerjesztés-válasz kapcsolattal írhatunk le matematikailag. A (írott ) az összerendelés operátora, amely reprezentálja magát a rendszert, azaz ha ismerjük a rendszer gerjesztését és a operátort, akkor a rendszer válasza meghatározható.
A MIMO rendszer (multiple input multiple output) több-bemenetű és többkimenetű rendszer. Ezen rendszerek értelemszerűen több gerjesztéshez több választ rendelnek, amit az
 
(II.15)
 
gerjesztés-válasz kapcsolattal írhatunk le matematikailag. Ebben az esetben az számú gerjesztés és az számú válasz között a gerjesztés-válasz kapcsolatot számú operátor írja le mind folytonos, mind diszkrét idejű rendszer esetén:
 
 
amely gerjesztéseket és válaszokat egy-egy oszlopvektorban lehet megadni:
 
 
A vektorok és mátrixok betűjelét álló és vastag betűvel fogjuk szedni.
A operátor tehát a bemenet-kimenet kapcsolatot fejezi ki. Rendszerek leírására számos ilyen operátor létezik, amelyeket a következő fejezetekben foglalunk össze.
Léteznek még MISO (több-bemenetű és egykimenetű) és SIMO (egybemenetű és többkimenetű) rendszerek is.
A könyvben szereplő példák és alkalmazások mindegyike SISO rendszer.
A következőkben a rendszerekkel kapcsolatos további négy fogalmat definiálunk: lineáris és nemlineáris, invariáns és variáns, kauzális és akauzális, s végül stabil és nem stabil rendszer.
Egy rendszer akkor lineáris, ha a gerjesztés-válasz kapcsolatot kifejező operátor lineáris, azaz ha a rendszerre érvényes a szuperpozíció elve. Tételezzük fel, hogy a operátor az gerjesztéshez az választ, az gerjesztéshez pedig az választ rendeli. Legyen ezután a rendszer gerjesztése , ahol és tetszőleges konstans értékek, akkor a lineáris rendszer válasza ,
 
(II.16)
 
folytonos idejű és diszkrét idejű rendszerre egyaránt. A linearitás fontos következménye, hogy ha a rendszer gerjesztése , akkor válasza is . Ha a szuperpozíció nem áll fenn, akkor a rendszer nemlineáris.
Egy rendszer akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be:
 
(II.17)
 
Ha ez nem áll fenn, akkor a rendszer variáns.
Egy folytonos idejű rendszer akkor kauzális, ha az válasz bármely időpontban az gerjesztés csak olyan értékeitől függ, melyekre . Egy diszkrét idejű rendszer akkor kauzális, ha az válasz bármely ütemben az gerjesztés csak olyan értékeitől függ, melyekre . Egyébként a rendszer akauzális.
Egy lineáris rendszer akkor és csakis akkor kauzális, ha bármely belépő gerjesztéshez belépő válasz tartozik.
Megjegyezzük, hogy a fizikai rendszerek kauzálisak.
Egy rendszer akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha bármely korlátos gerjesztésre korlátos válasszal reagál. Ezt a stabilitást BIBO-stabilitásnak is szokás nevezni (bounded input bounded output). Ha létezik akár egyetlen olyan korlátos gerjesztés, amelyre a rendszer nem korlátos válasszal reagál, akkor a rendszer nem gerjesztés-válasz stabilis, más szóval a rendszer labilis.
A könyvben szereplő példák mindegyike lineáris, invariáns és kauzális rendszer. Stabil és nem stabil rendszerek egyaránt előfordulnak. Röviden foglalkozunk nemlineáris rendszerekkel is, de ezek munkaponti linearizálását elvégezve a munkapontban lineáris rendszereket nyerünk.
 

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave