Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel


II.5.1. Egyszerű járműmodell

A modellalkotás szempontjából pontszerűnek tekintett tömegű járműre erővel hatunk, amely gyorsítja a járművet (II.9. ábra). Ezzel az erővel ellentétes irányban hat a súrlódásból eredő erő, amely az egyszerűség kedvéért arányos a sebességgel: , és konstans.
 
 
Newton törvénye értelmében írható, hogy
 
 
ahol a gyorsulás, amely szerint kifejezhető a sebességgel is, így
 
 
ahonnan
 
(II.128)
 
Ez egy elsőrendű közönséges differenciálegyenlet, amely leírja a jármű sebességének alakulását a vázolt körülmények között. A differenciálegyenlet megoldásához szükséges a kezdeti feltételt is rögzíteni, azaz a jármű sebességét a időpillanatban.
A rendszer bemenőjele az erő, kimenete a sebesség: . A modell állapotváltozója is a sebesség. Az
 
 
általános felírásban a mátrix és a vektorok skalárrá egyszerűsödnek, konkrétan:
 
 
mivel egytárolós rendszer esetében csak egy állapotváltozó szerepel a leírásban.
A differenciálegyenlet megoldása a Laplace-transzformáció segítségével megtehető, amennyiben szükség van a megoldás analitikus, képletszerű felírására. A differenciálegyenletet transzformálva kapjuk a sebesség időfüggvényének Laplace-transzformáltját:
 
 
Itt kiemeljük, hogy jelöléssel az változó az erő időfüggvénye, jelöléssel pedig az erő időfüggvényének Laplace-transzformáltja, .
A sebesség mint kimenet és az erő mint bemenet közti kapcsolatot leíró átviteli függvény az alábbi:
 
 
Ha például a rendszer bemenőjele egy ugrás alakú erő, amely a időpillanatban ugrásszerűen lép fel, azaz , ahol konstans, aminek Laplace-transzformáltja , akkor a kimenőjel, vagyis a sebesség Laplace-transzformáltja
 
 
A részlettörtekre bontott alakból felírható az időfüggvény:
 
 
A rendszer sajátértéke és időállandója , és .
Az illusztrációban használjuk a következő adatokat, Matlab környezetben:
 
m = 1000; mu = 50; F0 = 100;
 
A Laplace-transzformált szorzat alakban felírt formulája a Matlab függvényével részlettörtekre bontható. Ehhez meg kell adni számlálóját és nevezőjét (), majd az
 
[r,p,k] = residue(1/m*F0,conv([1 0],[1 mu/m]))
 
utasítást használva kapjuk, hogy: . A részlettörtekre bontott alak két tagból áll, és , illetve és értékekkel, vagyis
 
 
amelynek inverz Laplace-transzformáltját tagonként elvégezve kapjuk az időfüggvényt:
 
 
A rendszer sajátértéke és időállandója , és . Ezek SI-egységben értendők.
A utasítás két polinom összeszorzására alkalmas. A két polinom együtthatóit kell megadni egy-egy vektorban, a csökkenő hatványkitevők sorrendjében.
Az Matlab utasítás alkalmas a differenciálegyenlet numerikus megoldására. Itt az változatot használjuk, majd felrajzoljuk a numerikus és az analitikus eredményeket a II.10. ábrán:
 
[t,v] = ode45(@(t,v) -mu/m*v+1/m*F0, [0 120], 0);
plot(t,v,'-',t,F0/mu*(1-exp(-mu/m*t)),'o')
 
Az ábrán bejelöltük a időállandót is. Az is jól látható, hogy -nál a tranziens már elhanyagolható. Az exponenciális függvény okozta tranziens folyamat nagyjából időpillanatig tart, afelett áll be a stacionárius állapot, amikor is a sebesség nem változik .
 
II.10. ábra. A jármű sebességének alakulása ugrás alakú gerjesztőerő esetén.
 
A rendszer ugrásválasza helyettesítéssel kapható meg:
 
 
Az ugrásválasz általános jelölése , itt pont a sebességre vonatkozó ugrásválasz szerepel, emiatt a jelölésbeli azonosság.
Az impulzusválasz a ugrásválasz idő szerinti deriváltja:
 
 
A konkrét rendszer átviteli függvénye ennek Laplace-transzformáltja, ami természetesen megegyezik a fentebb megadott átviteli függvénnyel, behelyettesítés után:
 
 

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave