Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

II.5.4.2. Frekvenciatartománybeli analízis.

Az elsőfokú rendszer átviteli karakterisztikája az alábbi:

ahol

és

a bemeneti szinuszos feszültség és a kimeneti szinuszos feszültség komplex csúcsértéke. A soros RC-kör a komplex számítási módszer szerint az

rezisztencia és az

impedancia soros kapcsolása, ami egy frekvenciafüggő feszültségosztó kapcsolás. A kimeneti feszültség komplex csúcsértéke a feszültségosztás szerint

ahonnan a

átviteli karakterisztika átrendezés után kiadódik.

Az elsőfokú rendszert vagy egytárolós tagot az

törésponti körfrekvenciával is jellemezhetjük. Az átviteli karakterisztikát átrendezve írható, hogy

ahol

. A törésponti frekvencia az

összefüggéssel számítható.

Az átviteli karakterisztika felírható a

(II.135)

formában is, ahol

és

a rendszer amplitúdókarakterisztikája és fáziskarakterisztikája. Méréssel ezen két függvényt lehet felvenni néhány pontban, melyek segítségével a rendszer Nyquist-diagramja és Bode-diagramja felvázolható. A mérési eredmények birtokában a rendszer átviteli karakterisztikája pedig identifikálható.

A hálózat adatai ebben a vizsgálatban az alábbiak:

, azaz a töréspponti körfrekvencia, illetve törésponti frekvencia értéke

, s így a konkrét átviteli karakterisztika az alábbi:

A mérési összeállítást a II.18. ábra illusztrálja, ahol a bemeneti jel és a kisebb amplitúdójú kimeneti jel oszcilloszkóppal történő ellenőrzése is látható.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1156/#m1437lreszaum_1156 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1156/#m1437lreszaum_1156)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1156/#m1437lreszaum_1156)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.18. ábra. Az RC-kör mérése mikrovezérlővel, valamint a be- és kimeneti feszültségek időfüggvénye az oszcilloszkóp képernyőjén (

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1158/#m1437lreszaum_1158 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1158/#m1437lreszaum_1158)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1158/#m1437lreszaum_1158)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.19. ábra. A gerjesztőjel mintavételes előállítása.

A szinuszos

gerjesztőjelet mintavételes formában állítjuk elő. A részletek megértését a II.19. ábra segíti. Itt a jel periódusideje

, azaz a frekvencia

. A jelet

mintából építjük fel, amelyek

időközönként követik egymást, ahol a mintavételi frekvenciát

jelöli. Az ábrán látható, hogy a periódusidő és így a gerjesztőjel frekvenciája megadható az alábbiak szerint:

(II.136)

A gerjesztőjel frekvenciája tehát két adattal is befolyásolható, amely segíti a mikrovezérlő megszakításának paraméterezését (l. II.4. táblázat). A mintaprogramban ezt a

megszakítás végzi.

A mérést megvalósító programhoz szükséges változók az alábbiak:

#define PWM 11 // PWM-jel a 11. digitális IO-n (Timer 2)

#define n 8 // a gerjesztőjel 8 bites (itt: szinuszos)

#define N 125 // Ngen (f=10Hz, fgen=1250Hz)

#define N1 50 // Nmér (fmér=500Hz)

#define p 2 // p periódus mentése

int u1[N]; // A szinuszos gerjesztőjel tárolása

float U1[N1*p]; // Mért bemenőfeszültség tárolása

float U2[N1*p]; // Mért kimenőfeszültség tárolása

unsigned int szamlalo, i;

A közölt programrészletek a II.4. táblázat utolsó sorának felelnek meg.

II.4. táblázat. A megszakítások beállításai az egyes mérésekhez.

search [Hz]	search	search	presc.	OCR0A	search	search	presc.	OCR1A
0 ,25	500	125	1024	124	40	10	64	24999
0 ,5	250	125	1024	124	50	25	64	9999
1	125	125	1024	124	50	50	64	4999
2	125	250	256	249	50	100	64	2499
10	125	1250	256	49	50	500	64	499

Az Arduino UNO mikrovezérlő nem rendelkezik analóg kimenettel. Ebben a környezetben analóg jelet impulzusszélesség-modulációval (PWM) lehet előállítani. A példaprogramban a PWM-jel generálását a

megszakítás felügyeli. A

időközökben a gerjesztőjel kvantált értéke ismert. Ennek az értéknek megfelelő PWM-jel generálható a 11 jelű digitális kimeneten. A kimenet és a földpotenciál közé egy nagy kapacitású elektrolitkondenzátort kapcsolva kísérleteinkhez elég jól használható egyszerű jelgenerátor adódik (ez a kondenzátor itt

kapacitású). Megjegyezzük, hogy a PWM-meghajtás helyett szükség esetén célszerű olyan mikrovezérlőt választani, amely rendelkezik analóg kimenettel (például Due, Zero stb.).

A bemenőjelet és a válaszjelet, azaz az

és

feszültségeket mintavételes formában mérjük, amit a

megszakítás vezérel. Periódusonként

számú mintát véve az

mintavételezési frekvencia kiadódik, hiszen ha az

frekvenciájú jelből

mintát veszünk, akkor a mintavételezést

(II.137)

frekvenciával kell megvalósítani.

A fenti három

inicializálása a

függvényben történik:

// PWM-jel frekvenciájának beállítása maximális értékűre

TCCR2B = TCCR2B & 0b11111000 | 0x01;

cli();

// Jelgenerálás megszakításának beállítása

TCCR0A = 0;

TCCR0B = 0;

TCNT0 = 0;

OCR0A = 49;

TCCR0A |= (1 << WGM01);

TCCR0B |= (1 << CS02);

TIMSK0 |= (1 << OCIE0A);

// Mérés mintavételezésének beállítása

TCCR1A = 0;

TCCR1B = 0;

TCNT1 = 0;

OCR1A = 499;

TCCR1B |= (1 << WGM12);

TCCR1B |= (1 << CS11) | (1 << CS10);

TIMSK1 |= (1 << OCIE1A);

sei();

A szinuszos gerjesztőjel

biten történő kvantálása az alábbi programsorokkal megvalósítható:

float q=1/(pow(2,n)-1);

for(int i=0;i<N;i++){

u1[i] = (int)round((0.5+0.5*sin(2*PI*(float)i/(float)N))/q);

}

A II.20. ábrán példaképp mutatjuk meg az így előálló, időben mintavételezett, értékében kvantált jelet. A kvantálás itt

biten történt, azaz a PWM-csatornát meghajtó értékek a

diszkrét értékeket vehetik csak fel. A jel egy lépcsős jel, az egyes lépcsőfokoknak megfelelő értékek

ideig jelennek meg a kimeneten.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1207/#m1437lreszaum_1207 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1207/#m1437lreszaum_1207)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1207/#m1437lreszaum_1207)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.20. ábra. A kvantálással előállított szinuszos jel.

Felhívjuk a figyelmet, hogy a szinuszos jelet egy amplitúdónyi értékkel pozitív irányba eltoltuk. Így a jel csak pozitív értékeket vehet fel, amit az elektrolitkondenzátor alkalmazása mellett az is indokol, hogy a kimenet

és

között változhat. A jel középértéke és csúcsértéke tehát 2,5 V.

A kapcsolás által reprezentált rendszer azonban lineáris, így a kimenet is egy konstans érték és egy rászuperponálódó szinuszos jel összegeként áll elő. A konstans értéket itt egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk. Megjegyezzük, hogy a válaszjel is csak pozitív értékeket vehet fel, ami a mérőcsatorna szempontjából lényeges, hiszen az is csak

és

közötti értékeket mér.

A kimenet definiálása és nullára való beállítása szintén a

függvényben valósul meg:

és

, ahogy a következő változók inicializálása is:

és

. A soros port

beállítása biztosítja a mérési adatok elérését.

megszakítás vezényelte jelgenerálás függvénye a következő:

ISR (TIMER0_COMPA_vect){

analogWrite(PWM,u1[szamlalo]);

szamlalo++;

if (szamlalo==N){szamlalo=0;}

}

Ez a függvény az

frekvenciának megfelelően a 11. kimenetre írja ki a II.20. ábrán látható jelsorozat mintáit. Az

tömb csak egy periódusnyi értéket tárol, emiatt szükséges a

változót nullázni, miután az eléri az

értéket.

megszakítás végzi a bemenőjel és a kimenőjel mérését. A mérés az

periódusokban történik meg, hogy az esetleges tranziensek ne kerüljenek be a mérésekbe. Itt két periódus mérése valósul meg:

ISR (TIMER1_COMPA_vect){

if ((i>=5*N1) && (i<(5+p)*N1)){

U1[i-5*N1] = 5.0/1024.0*analogRead(A0)-2.5;

U2[i-5*N1] = 5.0/1024.0*analogRead(A1)-2.5;

}

i++;

}

A mérést követően a mért adatokat soros porton keresztül továbbítjuk a számítógép felé:

void loop(){

if (i==(5+p)*N1){

for (int j=0;j<N1*p;j++){

Serial.print(U1[j]); Serial.print(",");

Serial.print(U2[j]); Serial.print("\n");

}

A II.21. ábrán a

átviteli karakterisztika Bode-féle ábrázolása látható, azaz külön a

amplitúdókarakterisztika és külön a

fáziskarakterisztika.

Megjegyezzük, hogy a 10 Hz-es gerjesztésnél mért jelek már használhatatlanok, a kisebb frekvencián történt vizsgálatok viszont megfelelőek. A nagyobb frekvencián történő mérésekhez nagyobb teljesítményű mikrovezérlő szükséges.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1238/#m1437lreszaum_1238 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1238/#m1437lreszaum_1238)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1238/#m1437lreszaum_1238)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1239/#m1437lreszaum_1239 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1239/#m1437lreszaum_1239)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1239/#m1437lreszaum_1239)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.21. ábra. A számított átviteli karakterisztika Bode-diagramjának összehasonlítása a négy mérési eredménnyel.

Az amplitúdódiagram ábrázolásához szükség van a kimenőjel és a bemenőjel csúcsértékeinek a hányadosára, illetve ezen hányados logaritmusára:

(II.138)

A fázisdiagram ábrázolásához pedig a kimenőjel fázisának és a bemenőjel fázisának a különbségére van szükség:

(II.139)

Ezen műveleteket az elmondottaknak megfelelően a gerjesztőjel frekvenciájának változtatása mellett több frekvencián el kell végezni, s megkapjuk a diagramokat.

A csúcsértékek és a fázisok legegyszerűbben a Matlab

függvényének meghívásával számíthatók:

U1 = fft(u1);

U2 = fft(u2);

[m1,i1] = max(abs(U1));

[m2,i2] = max(abs(U2));

K = 20*log10(m2/m1);

Fi = 180/pi*(phase(U2(i2))-phase(U1(i1)));

függvény a jel spektrumát állítja elő. Ideális esetben a vonalas spektrumban csak a gerjesztőjel frekvenciájának megfelelő érték lehet nullától különböző. A mérés azonban mindig tartalmaz zajt, emiatt célszerű az abszolút érték maximumát megkeresni, és abból a csúcsértékeket meghatározni, majd a hozzá tartozó fázisinformációt használni. A mérési eredményeket a II.5. táblázatban soroljuk fel, ezek az eredmények a II.21. ábrán is megtalálhatók. Az utolsó oszlopban a

jelölésben a kiemeli, hogy mérési adatról van szó, ezt a következőkben használni fogjuk.

II.5. táblázat. A méréssel kapott értékek.

f [Hz]	search [rad/s]	K( search ) [dB]	K( search ) [-]	search ( search ) [fok]	search
0,25	1,57	-0,59	0,93	-19	0,8854 - j0,2969
0,5	3,14	-1,74	0,82	-34	0,6805 - j0,4545
1	6,28	-4,62	0,59	-53	0,3567 - j0,4672
2	12,57	-9,41	0,34	-68	0,1247 - j0,3148

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1256/#m1437lreszaum_1256 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1256/#m1437lreszaum_1256)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1256/#m1437lreszaum_1256)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.22. ábra. A kimenőjel a frekvenciával változik.

Az átviteli karakterisztika fizikai értelmezését világítja meg a II.22. ábra, ahol három szinuszos jel látható. Ezek a jelek az RC-kör számított kimenőjelei három különböző frekvencián (

), miközben a gerjesztőjel amplitúdója mindhárom esetben egységnyi, kezdőfázisa pedig nulla. A periódusidő természetesen csökken, ahogy a frekvencia nő. A kimenőjel amplitúdója és kezdőfázisa frekvenciáról frekvenciára más és más értéket vesz fel. Ezt a frekvenciafüggést írja le a rendszert jellemző átviteli karakterisztika. Az 1 Hz és a 2 Hz gerjesztéshez tartozó bemeneti jelet és kimeneti jelet külön felrajzoljuk a II.23. ábrán, ahol a bemenőjel és a kimenőjel viszonya jól látható. Ezek a mérési eredményekből adódnak. A mért és az átviteli karakterisztikából számított eredmények összevetése a II.5. táblázatban látható. Az adatok birtokában a II.22. ábrán az alábbi időfüggvények láthatók:

A számításokat a követkető Matlab utasításokkal lehet végrehajtani, például

esetében:

w = 2*pi*0.5;

W = 1/(1+j*w*10e3*22e-6)

abs(W)

phase(W)*180/pi

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1265/#m1437lreszaum_1265 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1265/#m1437lreszaum_1265)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1265/#m1437lreszaum_1265)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1266/#m1437lreszaum_1266 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1266/#m1437lreszaum_1266)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1266/#m1437lreszaum_1266)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.23. ábra. A bemenőjel és a kimenőjel alakulása 1 Hz és 2 Hz gerjesztőjel mellett.

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero