Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel


II.6.1. Egyszerű járműmodell

A (II.128) elsőrendű differenciálegyenlet szerint a járműmodell a jármű sebességének időfüggvényét szolgáltatja valamilyen gerjesztőerő mellett. A differenciálegyenlet által reprezentált rendszer átírható másodrendű rendszerré, amennyiben nem a sebességet, hanem az elmozdulást használjuk, , azaz a gyorsulás , s így
 
 
Az utóbbi egyenlet átalakítható, kifejezve a legmagasabb rendű deriváltat:
 
 
Itt a második derivált átalakítható elsőrendű deriváltak sorozatává, ha bevezetjük az
 
 
állapotváltozókat. Ezzel
 
(II.146)
 
Ez egy elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer, amely leírja a jármű elmozdulásának () és sebességének () alakulását. A differenciálegyenlet-rendszer megoldásához szükséges az és az kezdeti feltételeket is rögzíteni, azaz a jármű helyzetét és sebességét a időpillanatban.
A magasabb rendű differenciálegyenlet alkalmas állapotváltozók bevezetésével mindig átalakítható elsőrendű differenciálegyenletek rendszerévé.
A rendszer bemenőjele az erő, kimenete lehet az elmozdulás () vagy a sebesség (). Az
 
 
felírásban
 
 
és vagy , amennyiben a kimenet az elmozdulás () vagy a sebesség ().
A rendszer sajátértékei az mátrix karakterisztikus polinomja alapján számíthatók a következőképp:
 
 
vagyis és . A sajátértékek az Matlab utasítással számíthatók, miután az deklaráció megtörtént az előző fejezetben használt adatokkal, így és .
A karakterisztikus polinom együtthatói meghatározhatók a függvény segítségével, gyökei pedig a függvényhívással.
A rendszer válaszjele például a következőképp számítható. A (II.146) egyenletrendszer Laplace-transzformáltjából indulunk ki:
 
 
melyeket átrendezve kapjuk, hogy
 
 
Itt az egyes átviteli függvényeket is megjelöltük. Legyen , és használjuk az előző fejezetben megadott értékeket, ekkor , ami az előző fejezetben kapott sebességgel azonos eredmény. Az elmozdulás időfüggvénye az
 
 
részlettörtekre bontott alakból
 
 
A részlettörtekre bontást az
 
[r,p,k] = residue(1/m*F0,conv([1 0 0],[1 mu/m]))
 
szerint végezhetjük el: .
Az elmozdulás és az sebesség időfüggvények numerikusan az alábbi programmal számíthatók és ábrázolhatók, ahol az függvényt használjuk a differenciálegyenlet-rendszer megoldására:
 
function Jarmu
m = 1000; mu = 50; F0 = 100;
 
[t,x] = ode45(@Jarmu_2,[0 120],[0; 0],[],m,mu,F0);
 
yyaxis left; plot(t,x(:,1))
yyaxis right; plot(t,x(:,2))
 
function dxdt = Jarmu_2(t,x,m,mu,F0)
dxdt = [0 1;0 -mu/m]*x + [0;1/m]*F0;
 
Itt a differenciálegyenlet-rendszer jobb oldalát külön függvényben definiáltuk.
A kapott eredmények a II.25. ábrán láthatók. Az jel láthatóan minden határon túl növekszik, ami a tagnak köszönhető. Ez pedig a sajátérték eredménye, hiszen a rendszer aszimptotikusan nem stabil. Fizikaliag a jármű elmozdulása, ami értelemszerűen a végtelenhez tart.
 
II.25. ábra. A jármű elmozdulásának és sebességének alakulása ugrás alakú gerjesztőerő esetén.
 

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave