Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

II.6.2.2. Munkaponti linearizálás

Az inga jól definiált munkapontja, amikor az inga rúdja lefelé áll és mozdulatlan. Ekkor

és

, azaz

és

. A (II.149) nemlineáris állapottérmodell ezen munkapont kicsiny környezetében (kis kitérésekre) linearizálható, azaz közelíthető egy alkalmasan választott lineáris állapottérmodellel.

(

) Jacobi-mátrix elemeit meghatározva és a munkaponti értékeket behelyettesítve kapjuk az

linearizált rendszer állapotegyenletét, ahol

Ezzel a munkapontban linearizált modell a következő alakot ölti:

Az inga lengésének modellezése a fenti nemlineáris és munkapontban linearizált modellel az alábbi Matlab programmal megvalósítható, ahol a differenciálegyenleteket az

utasítással numerikusan oldjuk meg:

function Inga

g = 9.81;

m = 1;

M = 1.5;

r = 1;

l = 0.5;

b = 0.1;

Theta = 1/3*m*l^2;

phi0 = 20/180*pi;

[t1,x1] = ode45(@Inga_nlin,[0 20],[phi0; 0],[],g,m,M,r,l,b,Theta);

[t2,x2] = ode45(@Inga_lin, [0 20],[phi0; 0],[],g,m,M,r,l,b,Theta);

plot(t1,x1(:,1)*180/pi, ...

t2,x2(:,1)*180/pi)

function dxdt = Inga_nlin(t,x,g,m,M,r,l,b,Theta)

dxdt = [x(2);...

(-(M*r+m*l)*g*sin(x(1))-b*x(2))/(M*r^2+m*l^2+Theta)];

function dxdt = Inga_lin(t,x,g,m,M,r,l,b,Theta)

dxdt = [0 1;...

-(M*r+m*l)*g/(M*r^2+m*l^2+Theta) -b/(M*r^2+m*l^2+Theta)];

dxdt = dxdt*x;

Az adatok a II.26. ábrán látható laboratóriumi ingáról származnak, a

paraméter értékét az alábbi modellszámításokhoz illesztettük. Kis kitéréssel indítva az ingát a nemlineáris és a lineáris modell által szimulált eredmények nagyon közel vannak egymáshoz. A kezdeti kitérést növelve a két modell közti különbség már számottevő, ahogy az a II.27. ábrán tanulmányozható

és

mellett.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1431/#m1437lreszaum_1431 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1431/#m1437lreszaum_1431)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1431/#m1437lreszaum_1431)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1432/#m1437lreszaum_1432 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1432/#m1437lreszaum_1432)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1432/#m1437lreszaum_1432)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.27. ábra. Az inga kitérése nemlineáris és linearizált modellt használva.

A fizikailag felépített rendszeren a szögelfordulást egy potenciométerrel mérjük. A program a hőmérséklet mérésével megegyező felépítésű. A mért kitérés és a nemlineáris modellel számolt kitérés nagyon jó egyezése tapasztalható, ezt a görbét külön nem tüntetjük fel.

A megépített inga adataiból a rendszermátrix és a két sajátérték a következő:

Lengő rendszer sajátértékei konjugált komplex párt alkotnak, ha a lengés periodikus. A sajátértékek valós része negatív, azaz a rendszer aszimptotikusan stabil, emiatt a lengés amplitúdója fokozatosan csökken. A stabil jelleg a súrlódásnak köszönhető. A képzetes rész adja a lengés

körfrekvenciáját, a lengés periódusideje itt

. Tisztán valós értékű negatív sajátérték esetén a tranziens aperiodikus, tisztán képzetes sajátértékpár esetén pedig csillapítatlan szinuszos.

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero