Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

II.6.3. Kéttárolós RC-hálózat

Egyszerűen realizálható kéttárolós rendszer építhető fel két összekapcsolat RC-kör segítségével, ahogy az a II.28. ábrán látható. A rendszer gerjesztése az

feszültség, kimenete pedig a

kondenzátor feszültsége,

. Az ábrán bejelöltük az állapotváltozók referenciairányát is:

, és

(

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1440/#m1437lreszaum_1440 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1440/#m1437lreszaum_1440)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1440/#m1437lreszaum_1440)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.28. ábra. Soros RC-körökből felépített kéttárolós rendszer.

A hálózati egyenletek például a csomóponti potenciálok módszerével írhatók fel. Az ábrán feltüntettük a használni kívánt potenciálokat. Az alsó csomópont a földpotenciál,

. Ehhez képest a felső csomópontok potenciálja sorban:

és

. Utóbbi két csomópontra az alábbi csomóponti egyenletek írhatók fel a jelzett referenciairányok mellett:

Rendezést követően az alábbi állapottérmodell írható fel:

(II.150)

ami mátrixos írásmódban az alábbi:

(II.151)

felírásban

Az itt felépített villamos hálózati modell adatai az alábbiak:

A rendszer átviteli függvényének felírásához Laplace-transzformáljuk a (II.150) differenciálegyenleteket, de használjuk az

és

egyszerűsítő jelöléseket:

ahol

jelöli a transzformált változókat. A rendszer bemenete

, kimenete

. Az egyenleteket rendezve kapjuk a

átviteli függvényt:

(II.152)

Matlab környezetben SI-egységben definiálva írhatjuk, hogy:

R1 = 5100; R2 = 5100;

C1 = 100e-6; C2 = 100e-6;

Az általános rendszermodellt az alábbiak szerint kell definiálni:

A = [-(R1+R2)/(R1*R2*C1) 1/(R2*C1); 1/(R2*C2) -1/(R2*C2)];

b = [1/(R1*C1); 0];

c = [0 1];

D = 0;

[sz,n] = ss2tf(A,b,c,D);

WP = tf(sz,n);

Itt

és

jelöli az átviteli függvény számlálója és nevezője polinomjának együtthatóit csökkenő hatványkitevő szerint. Az átviteli függvényt

jelöli, amely a

függvény segítségével adható meg, konkrétan az alábbi:

A nevező polinomjának a gyökeit

utasítással kaphatjuk meg, melynek eredménye a pólusokkal felírt szorzat alak (

). Az időállandókat a

függvénnyel tudjuk meghatározni:

a lomhább,

a gyorsabb időállandó. A

függvény segítségével

sorrend áll elő, ahogy

Ezt a szakaszmodellt a következő fejezetben illusztráció céljából használni fogjuk, ezért emeljük ki a P index jelölést.

A rendszer

mátrixának sajátértékei az

utasítással számíthatók:

. Ezek megegyeznek a rendszer pólusaival, hiszen az átviteli függvény felírásakor nem történt pólus-zérus kiejtés.

A rendszer a II.29. ábrán látható ugrásválasz szerint meglehetősen lomha, a stacionárius állapot kb.

után áll be (

). A mérést Arduino környezetben végeztük el, a modell kimenetét pedig a

Matlab utasítás adja.

Ugyanez az eredmény érhető el, ha a rendszer állapotváltozós leírását az

függvénnyel definiáljuk:

Rendszer=ss(A,b,c,D);

step(Rendszer);

impulse(Rendszer);

Utóbbi függvény az impulzusválaszt rajzolja fel.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1478/#m1437lreszaum_1478 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1478/#m1437lreszaum_1478)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1478/#m1437lreszaum_1478)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.29. ábra. A szakasz számított és mért ugrásválasza.

Az impulzusválasz analitikusan a

utasítás segítségével könnyen számítható:

[r,p,k]=residue(sz,n)

ahonnan

és

, azaz

az időfüggvény pedig

Az ugrásválasz analitikus, képletszerű alakja a következő módon határozható meg. Elsőként a

utasítással részlettörtekre bontjuk az alábbi Laplace-transzformáltat:

Az adatok a következőképp adódnak:

[r,p,k]=residue(sz,conv([1 0],n))

ahonnan

és

. Az időfüggvény végül

Ez az időfüggvény látható a II.29. ábrán.

A mérést megvalósító program az alábbiak szerint egyszerű felépítésű. A kondenzátor feszültségét az idő függvényében a

soros porton keresztül nyert adatok birtokában (

és

) rajzoltuk fel, a kiírás sebessége

. A

időpillanatot a

függvényben mérjük, a

függvényben áll elő, a mérés megkezdése előtti pillanatban.

gerjesztőfeszültséget a 3-as jelű kimeneten adjuk a rendszerre, ami itt 1 V. Ez a feszültség PWM-jelként áll elő, melynek frekvenciáját maximális értékűre állítjuk be a

változón keresztül. A

függvényben a kimeneti feszültséget tíz másodpercig 0 V értékűre állítjuk be, mialatt mindkét kondenzátor biztosan energiamentes állapotba kerül. A program az alábbi:

unsigned long t0, t1;

void setup() {

Serial.begin(9600);

pinMode(3, OUTPUT);

TCCR2B = TCCR2B & 0b11111000 | 0x01;

analogWrite(3, 0.0);

delay(10000);

t0 = micros();

}

void loop() {

t1 = micros();

analogWrite(3, (int)(1.0/5.0*255));

float uc2 = (5.0/1024.0)*analogRead(A1);

Serial.print(t1-t0); Serial.print(',');

Serial.print(uc2); Serial.print('\n');

}

Itt is megjegyezzük, hogy a PWM-meghajtás helyett célszerű lehet olyan mikrovezérlőt választani, amely rendelkezik analóg kimenettel (például Due, Zero stb.), ha az alkalmazás úgy kívánja.

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero