Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

II.6.3.1. Mintavételes modellek.

Ebben a részben – illusztrálva az egyes differenciáló és integráló operátorok mintavételes közelítési sémáit – levezetjük a szakasz folytonos idejű átviteli függvényét approximáló diszkrét idejű átviteli függvényeket a II.4. fejezetben bemutatott módszerek alapján.

A másodrendű rendszer

folytonos idejű átviteli függvényéből kiindulva vezethetjük le a diszkrét idejű átviteli függvényeket.

A hátratartó differenciaséma közelítése azonos a jobb oldali téglalapszabállyal,

. Írjuk ezt

helyébe a

átviteli függvényben:

Rendezve a törtet, kapjuk a diszkrét idejű átviteli függvény egy alakját:

Matlabban ez az átviteli függvény a következőképp definiálható adott

mintavételi periódusidő mellett:

WP1 = tf([Ts^2 0 0],[Ts*(Ts+tau1+tau2)+tau1*tau2 -(Ts*(tau1+tau2)+2*tau1*tau2) tau1*tau2],Ts);

[v,t] = step(WP1,10); stairs(t,v);

Az ugrásválaszt lépcsős görbével rajzolja fel a második sor 10 s-ig.

A számlálót és a nevezőt

-tel egyszerűsítve kapjuk a függvényt

-ben negatív kitevőkkel:

Átszorzást követően írható, hogy

ahonnan felírható a rendszeregyenlet is:

Az előretartó differenciaséma és a bal oldali téglalapszabály approximációja azonos:

. Írjuk ezt

helyébe a

átviteli függvényben:

Rendezve a törtet, felírható a diszkrét idejű átviteli függvény:

Az előző sémánál alkalmazott lépéseket követve felírhatjuk a rendszeregyenletet:

Az átviteli függvény Matlabban a következőképp adható meg:

WP2 = tf(Ts^2,[tau1*tau2 Ts*(tau1+tau2)-2*tau1*tau2 Ts*(Ts-tau1-tau2)+tau1*tau2],Ts);

A Tustin-képlet esetén az

approximációt használjuk a

átviteli függvényben:

Rendezve a törtet, felírható a diszkrét idejű átviteli függvény:

Ebből a rendszeregyenlet az előző két példa alapján már felírható. Az átviteli függvény Matlabban a következőképp adható meg:

WP3 = tf([Ts^2 2*Ts^2 Ts^2],[Ts^2+2*Ts*tau2+2*Ts*tau1+4*tau1*tau2 2*Ts^2-8*tau1*tau2 Ts^2-2*Ts*tau2-2*Ts*tau1+4*tau1*tau2],Ts);

Az egységugrás ekvivalens mintavételes modell a II.4.6. fejezet lépései szerint vezethető le. Használjuk a

általános felírást. A lépések az alábbiak:

Inverz Laplace-transzformációval kiszámítjuk a folytonos idejű rendszer ugrásválaszát:

ahol a részlettörtekre bontás módszere szerint
search
,
search
,
search
. Ezt fentebb is kiszámoltuk a konkrét adatokkal.

Mintavételezzük a kapott ugrásválaszt
search
mintavételi periódusidővel:

vagyis
search
a
search
,
search
jelölések mellett.

A kapott diszkrét idejű ugrásválaszt
search
-transzformáljuk:

A diszkrét idejű rendszer átviteli függvénye az alábbi összefüggés szerint áll elő:

Közös nevezőre hozva kapjuk a Matlab

függvénye által is számított átviteli függvényt:

Ezek a lépések Matlab környezetben az alábbiak szerint alakulnak:

K = WP.num{1}(3);

A = K/p1/p2;

B = K/p1/(p1-p2);

C = K/p2/(p2-p1);

q1 = exp(p1*Ts);

q2 = exp(p2*Ts);

WP4 =tf([A+B+C -A*(q1+q2)-B*(1+q2)-C*(1+q1) A*q1*q2+B*q2+C*q1],[1 -q1-q2 q1*q2],Ts);

Megjegyezzük ismét, hogy a Matlab

függvénye ugyanezt az eredményt adja.

A szakasz ugrásválaszának közelítése hátratartó és előretartó differenciasémával, azaz jobb oldali és bal oldali téglalapszabállyal a II.30. ábrán látható 2 s és 0,2 s mintavételi periódusidőt használva. Az előretartó séma a nagy mintavételi periódusidő mellett láthatóan nem stabil, itt tehát ügyelni kell a mintavételi periódusidő megválasztására. A hátratartó séma feltétel nélkül stabil.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1568/#m1437lreszaum_1568 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1568/#m1437lreszaum_1568)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1568/#m1437lreszaum_1568)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1569/#m1437lreszaum_1569 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1569/#m1437lreszaum_1569)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1569/#m1437lreszaum_1569)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.30. ábra. A szakasz ugrásválaszának közelítése hátratartó és előretartó differenciasémával (jobb oldali és bal oldali téglalapszabállyal).

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1571/#m1437lreszaum_1571 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1571/#m1437lreszaum_1571)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1571/#m1437lreszaum_1571)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1572/#m1437lreszaum_1572 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1572/#m1437lreszaum_1572)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1572/#m1437lreszaum_1572)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.31. ábra. A szakasz ugrásválaszának közelítése Tustin-képlettel és egységugrás ekvivalens modellel.

A szakasz ugrásválaszának közelítése Tustin-képlettel és az egységugrás ekvivalens modellel a II.31. ábrán látható szintén 2 s és 0,2 s mintavételi periódusidőt használva. Mindkét megoldás stabil eredményt szolgáltat. A Tustin-képlettel nyert eredmény a fenti két séma között simul a folytonos idejű eredményhez, elmondható, hogy a Tustin-képlettel, azaz a trapézszabállyal számított modell pontosabb, mint a fenti két téglalapszabállyal kapott eredmény. Az egységugrás ekvivalens modell esetén jól látszik, hogy a mintavételi időpillanatokban a diszkrét idejű modell pontos. Utóbbi mondható a tárgyalt közelítő módszerek közül a legpontosabbnak.

A Shannon-féle mintavételi tétel illusztrálására vizsgáljuk meg a II.32. ábrát. A felső ábrán szaggatott vonallal felvázoltuk a szakasz amplitúdókarakterisztikáját, amiből a folytonos vonallal rajzolt mintavételes spektrum (II.119) szerint felrajzolható. A mintavételes spektruma

mintavételi körfrekvencia szerint periodikus, itt

. A jobb oldalon (II.121) szerint aluláteresztő szűrővel visszaállítottuk az amplitúdóspektrumot, és azt összevetettük az eredeti, folytonos idejű spektrummal. A kettő között kis eltérés mutatkozik, amely eltérés annál kisebb, minél nagyobb a mintavételi frekvencia. Minél nagyobb a mintavételi frekvencia, az oldalsávok annál messzebb kerülnek egymástól, és így egymásra hatásuk is egyre kisebb. Ez a jelenség tapasztalható a fenti eredményeken is. A

kellően nagy mintavételi frekvenciát biztosít, míg a

elég kicsit, emiatt a mintavételes közelítő eredmények távol esnek a folytonos idejű modellel nyert eredménytől. Minél nagyobb a mintavételi frekvencia, az eredmények értelemszerűen annál pontosabbak lesznek.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1576/#m1437lreszaum_1576 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1576/#m1437lreszaum_1576)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1576/#m1437lreszaum_1576)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_1577/#m1437lreszaum_1577 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1577/#m1437lreszaum_1577)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_1577/#m1437lreszaum_1577)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

II.32. ábra. A Shannon-tétel teljesülésének ellenőrzése.

Az elmondottak az alábbi Matlab programrészlettel számíthatók:

W = @(w)1/(1+j*w*tau1)/(1+j*w*tau2);

w = [-100:0.01:100];

Wmv = zeros(1,length(w)); W1 = zeros(1,length(w));

for k=1:length(w) % Wmv számítása

W1(k)=W(w(k));

for i=-4:4, Wmv(k) = Wmv(k) + 1/Ts*W(w(k)-i*2*pi/Ts); end

end

for k=1:length(w) % aluláteresztő szűrés

if abs(w(k))>pi/Ts, Wmv(k)=0; end;

end

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero