Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

III.3.1. Alapfogalmak és definíciók

Ebben a fejezetben olyan lineáris és időinvariáns SISO rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek állapotváltozós leírása folytonos időben

(III.24)

diszkrét időben pedig

(III.25)

ahol

a folytonos idejű modell rendszermátrixa,

és

a folytonos idejű modell bemeneti és kimeneti vektora,

skalár, illetve

a diszkrét idejű modell rendszermátrixa,

és

a diszkrét idejű modell bemeneti és kimeneti vektora,

szintén skalár. A

sorvektor és a

skalár a két modellben megegyezik.

A diszkrét idejű modellt a folytonos idejű modell mintavételezésével nyerjük (l. II. 2. 3. fejezet). Ebben az esetben a

rendszermátrix és a

bemeneti vektor függ a mintavételi periódusidő értékétől.

A folytonos idejű modell első egyenlete az

állapotvektor változási sebességét adja, második egyenlete pedig a kimenőjelet az állapotvektor és a bemenőjel ismeretében.

A diszkrét idejű modell az

állapotvektor

-edik ütembeli értékét állítja elő az állapotvektor és a bemeneti jel

-adik ütembeli értékéből, illetve a rendszer kimenőjelének

-adik ütembeli értékét.

Az állapotváltozós leírásban szereplő mátrix és vektorok sokféleképp megválaszthatók úgy, hogy a bemenet-kimenet kapcsolat ugyanaz marad, azaz számos állapotteres reprezentáció modellezheti ugyanazt a rendszert. Ezt úgy mondjuk, hogy az állapotváltozós leírás transzformálható, és ezt emeli ki a II.7. ábra és a II.8. ábrákon az állapottérmodellhez rajzolt T betű.

Felírható tehát egy új

állapotvektor a

transzformációs mátrix bevezetésével:

(III.26)

Utóbbival a folytonos idejű modellt úgy írhatjuk, hogy

Az állapotegyenletet a

transzformációs mátrixszal balról szorozva írható a transzformált állapotváltozós leírás általános alakja:

azaz

(III.27)

az alábbi transzformációval többféleképp is megfogalmazható:

(III.28)

Feltételezzük, hogy a transzformációs mátrixnak létezik az inverze.

Figyeljük meg, hogy a (III.27) egyenletekben az

bemenőjel és az

kimenőjel felett nincs jelölés. Ez azt jelenti, hogy a rendszer bemenete és kimenete változatlan a transzformáció után, de az állapotvektor elemei más értékeket is felvehetnek.

A diszkrét idejű modell ugyanígy átírható:

azaz

(III.29)

adja a transzformált rendszer leírását.

Az átviteli függvény invariáns a transzformációra:

(III.30)

illetve

(III.31)

Ez azt jelenti, hogy tetszőleges transzformált rendszer impulzusválasza, ugrásválasza és átviteli függvénye, illetve átviteli karakterisztikája ugyanaz. Más szóval, a bemenet-kimenet kapcsolat ugyanaz marad, függetlenül az alkalmazott transzformációtól.

Sokféle állapotváltozós leírás reprezentálhatja tehát ugyanazt a rendszert. A mátrixokat és vektorokat a feladat megoldására a legjobban kezelhető alakra célszerű hozni. A következőkben két lényeges alakot, az irányítható kanonikus alakot és a megfigyelhető kanonikus alakot definiáljuk. Tesszük ezt csak a folytonos idejű modellre, mert a diszkrét idejű leírás ugyanígy megtehető.

A továbbiakban feltételezzük, hogy

Induljunk ki az átviteli függvény polinom per polinom alakú kifejezéséből:

amelynek megfeleltethető az ún. irányítható kanonikus alaknak nevezett állapotváltozós leírás:

(III.32)

illetve az ún. megfigyelhető kanonikus alaknak nevezett állapotváltozós leírás:

(III.33)

Az átviteli függvény alapján két különböző állapotváltozós felírás (más alakok mellett) tehát rögtön megadható.

Az állapotváltozók számát

jelöli.

A következőkben két fontos fogalmat definiálunk: irányíthatóság és megfigyelhetőség. A definíciót csak a folytonos idejű modellre adjuk meg, a diszkrét idejű leírásra ugyanaz mondható ki a diszkrét időben.

A rendszer állapotirányítható, ha az állapotvektor tetszőleges

állapotból véges

idő alatt a tetszőlegesen előírt

állapotba mozgatható az

irányítójel segítségével. Ha a definíció csak a kimenőjelre teljesül, úgy kimeneti irányíthatóságról van szó. Fő kérdés tehát, hogy a bemenőjellel valamennyi állapotváltozó befolyásolható vagy sem. Speciálisan, ha

az origó, úgy a rendszer stabilizálásáról van szó.

Egy

-dimenziós rendszer akkor állapotirányítható, ha az irányíthatósági mátrix (controllability matrix) rangja

, ahol az irányíthatósági mátrix folytonos idejű rendszer esetében

(III.34)

diszkrét idejű rendszereknél pedig

(III.35)

Ha a mátrix maximális rangú, azaz a lineárisan független oszlopainak a száma

, akkor létezik inverze. Ezt a szabályozó tervezésekor használni fogjuk.

A rendszer megfigyelhető, ha a

intervallumban megfigyelt (mért)

bemenőjel és

kimenőjel ismeretében az állapotvektor a

időpillanatban meghatározható. A kérdés tehát az, hogy

meghatározható a bemenőjel és a kimenőjel mérése által vagy sem.

Egy

-dimenziós rendszer akkor megfigyelhető, ha a megfigyelhetőségi mátrix (observability matrix) rangja

, ahol a megfigyelhetőségi mátrix

(III.36)

a folytonos idejű, illetve a diszkrét idejű rendszer esetén.

Megjegyezzük, hogy a folytonos idejű és a diszkrét idejű rendszerek esetén felírt összefüggések hasonlóak a köztük fennálló algebrai hasonlóság miatt. Ezt a tervezési lépésekben is látni fogjuk.

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero