Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel


III.3.3. A szabályozási kör tervezése

Állapot-visszacsatolás arányos típusú tagokon keresztül történik, az alábbi összefüggés által definiált módon:
 
(III.43)
 
azaz az , illetve beavatkozó jel az állapotváltozók súlyozott összegeként áll elő, és a sorvektor meghatározása adja a tervezési feladatot mind folytonos időben, mind diszkrét időben. Az állapot-visszacsatolással megvalósított szabályozási kör blokkvázlata a III.8. ábrán látható. A referenciajel egyelőre nulla értékű. Ezzel az egyszerű szabályozási körrel például stabilizálás valósítható meg.
 
 
A zárt rendszer állapotváltozós leírása a következőképp alakul:
 
illetve
 
 
vagyis az mátrix a diáddal, a mátrix pedig a diáddal módosítható.
A visszacsatolás áthelyezi az mátrix (illetve a mátrix) sajátértékeit az mátrix (illetve a ) által megszabott helyekre, amelyeket viszont elő lehet írni. Ezt pólusáthelyezési feladatnak is hívják, a tervezési feladat pedig az ehhez szükséges vektor kiszámítása.
Az mátrix karakterisztikus egyenlete
 
 
amelynek gyökei adják a rendszer , , , sajátértékeit. Lehetőség van ezen sajátértékek alkalmas módosítására, vagyis a zárt rendszer sajátértékeinek előírására (áthelyezhetünk sajátértéket például azért, mert az nem stabil, vagy mert lassú, esetleg lengő jellegű stb.). Ezzel a rendszer minőségi jellemzőit befolyásolni tudjuk.
A zárt rendszer (closed loop, CL) rendszermátrixának karakterisztikus egyenlete
 
 
Ha előírjuk a zárt rendszer , , , sajátértékeit, akkor a sorvektor az Ackermann-képlettel meghatározható:
 
(III.44)
 
Itt az irányítható rendszer irányíthatósági mátrixát jelöli, pedig a zárt rendszer előírt karakterisztikus polinomját jelöli, amelyben a változókat le kell cserélni az mátrixra.
Mindez részletesebben a következőt jelenti. Előírjuk a zárt rendszer , , , sajátértékeit, amellyel definiálható:
 
 
majd
 
 
Diszkrét idejű rendszer esetén ugyanezen összefüggés alkalmazható a mátrixszal és a vektorral:
 
(III.45)
 
Zavarójel és a paraméterváltozások kedvezőtlen hatásának csökkentése érdekében célszerű a körbe egy integrátort iktatni, ahogy az a III.9. ábrán látható. Jelölje az integrátor bemenetét (). Az integrátor kimenete .
 
III.9. ábra. Az integrátorral kiegészített állapot-visszacsatolást tartalmazó szabályozási kör blokkdiagramja.
 
Az integrátorral kibővített állapottérmodell együttes egyenletei folytonos idejű rendszer esetében az alábbiak szerint írhatók:
 
(III.46)
 
A egyenletben szereplő negatív előjelet lentebb használjuk az irányítójel összefüggésében. A bővített rendszer rendszermátrixát és bemeneti vektorát a jelöléssel különböztetjük meg, mert lentebb használni fogjuk.
Az integrátort a diszkrét idejű megközelítésben a bal oldali téglalapszabállyal közelítjük:
 
 
amivel a felírható rekurzív formában:
 
 
A diszkrét idejű modell esetében a bővített rendszer állapotteres leírása így az alábbiak szerint alakul:
 
(III.47)
 
Ezekhez állapot-visszacsatoló szabályozó tervezhető az Ackermann-képlettel, de a visszacsatoló vektor és az állapotvektor egy elemmel bővül:
 
(III.48)
 
A tervezést támogató Ackermann-formula a bővített rendszerre végül az alábbi:
 
(III.49)
 
illetve
 
(III.50)
 
A III.10. ábrán az integrátorral kibővített, állapot-visszacsatolást tartalmazó szabályozási kör olyan változata látható, amelyben az állapotvektort a megfigyelő állítja elő. A megfigyelő tervezése és a szabályozó hangolása külön-külön elvégezhető a szeparációs elv értelmében. A hibajelet szerint állítjuk elő.
 
III.10. ábra. Az állapot megfigyelésével vagy becslésével kiegészített szabályozási kör.
 

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék


Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero

Kivonat
fullscreenclose
printsave