Kuczmann Miklós

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

III.4.3. Állapot-visszacsatolást alkalmazó mintavételes szabályozó tervezése

A folytonos idejű rendszer két sajátértéke szerint a rendszer aszimptotikusan stabil:

, azaz

A rendszer megfigyelhető és irányítható, megfigyelhetőségi mátrixának és irányíthatósági mátrixának rangja

és

szerint 2-2, ahol

A mikrovezérlővel történő megvalósítás miatt áttérünk a rendszer diszkrét idejű modelljére. Az egységugrás-ekvivalens mintavételes modell a Matlab

utasításával számítható:

Legyen a mintavételi periódusidő

, azaz a mintavételezés frekvenciája

. Ekkor

Ts = 1/20;

FI_rendszer = ss(A,b,c,D);

DI_rendszer = c2d(FI_rendszer,Ts);

FI = DI_rendszer.a;

Gamma = DI_rendszer.b;

utasításokat használva kapjuk, hogy

A diszkrét idejű rendszer két sajátértéke:

. A diszkrét idejű rendszer is megfigyelhető és irányítható, megfigyelhetőségi és irányíthatósági mátrixának rangja

és

szerint 2-2, ahol

A megfigyelő a következőképp tervezhető meg a Matlab utasításaival:

q = exp(-Ts./(tau/2))

G = acker(FI',c',q)';

H = Gamma;

F = FI-G*c;

A megfigyelő két pólusát a folytonos idejű rendszer időállandóit tároló

változó alapján számoljuk az

összefüggés szerint, de a két pólust felgyorsítjuk példaképp a kétszeresére. A

vektor Ackermann képlete szerint adódik, majd a

vektor, illetve az

mátrix:

Ez alapján a kondenzátorok feszültsége a következő képletekkel becsülhető:

Az integrátorral kiegészített rendszer állapotváltozós modelljének összeállítását követően Ackermann képlete használható a visszacsatoló konstansok és az integrátorhoz kapcsolódó előrecsatoló konstans meghatározásához. Ehhez pólusokat kell választani a

vektorban, sorban az

, az

és az

változókhoz. Mindez a következő sorokkal valósítható meg:

q = exp(-Ts./(-1./[-1 -1 -20]));

FIh = [FI zeros(2,1); c*Ts 1];

Gammah = [Gamma; 0];

k = acker(FIh,Gammah,q);

Az integrátorral kiegészített rendszer is irányítható, az

irányíthatósági mátrix rangja maximális, azaz 3 (

A III.5. táblázatban összefoglaltuk néhány, folytonos időben megválasztott sajátértékhez tartozó

sorvektor elemeit. A folytonos idejű rendszerhez tartozó sajátértékeket az

összefüggéssel át kell számítani a diszkrét idejű rendszerre, s csak azután lehet az Ackermann-képletet használni.

III.5. táblázat. Az erősítések alakulása a pólusok áthelyezésének függvényében.

search	search	search	search	search	search
-1	-1	-1	-1,3699	1,2202	0,2788
-1	-1	-2	-0,8504	1,2376	0,5441
-1	-1	-5	0,5608	1,2851	1,2647
-1	-1	-20	5,1617	1,4397	3,6141
-2	-2	-1	-0,3440	1,5201	1,0616
-2	-2	-2	0,1499	2,0610	2,0715
-2	-2	-5	1,4915	3,5304	4,8150
-2	-2	-20	5,8655	8,3213	13,7598
-5	-5	-1	2,3122	5,0110	5,7360
-5	-5	-2	2,7397	6,9071	11,1922
-5	-5	-5	3,9011	12,0583	26,0154
-5	-5	-20	7,6877	28,8529	74,3443

A III.28. ábrán a

választás mellett az integrátorhoz kapcsolódó sajátérték hatása látható. A

sajátérték távolodása az origótól egyre gyorsabb tranzienst eredményez a kimeneti jelben, hiszen a beavatkozó jel pillanatértéke növekszik. Ennek oka természetesen az, hogy az erősítések értéke is egyre nagyobb. Érdekességképp felrajzoltuk a szakasz ugrásválaszát is. Ebben a sorozatban az látható, hogy a szabályozott rendszer ugrásválaszának tranziense lassúbb, mint a szakasz ugrásválasza. Ezen javítani pólusáthelyezéssel lehetséges.

A III.29. ábrán a szimulációs és mérési eredmények összehasonlítása látható a

értékre. Itt mindkét állapotváltozó viselkedése látható.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2196/#m1437lreszaum_2196 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2196/#m1437lreszaum_2196)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2196/#m1437lreszaum_2196)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2197/#m1437lreszaum_2197 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2197/#m1437lreszaum_2197)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2197/#m1437lreszaum_2197)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

III.28. ábra. A szabályozási kör kimeneti jele és irányítójele

mellett,

függvényében.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2199/#m1437lreszaum_2199 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2199/#m1437lreszaum_2199)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2199/#m1437lreszaum_2199)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2200/#m1437lreszaum_2200 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2200/#m1437lreszaum_2200)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2200/#m1437lreszaum_2200)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

III.29. ábra. A mérési és szimulációs eredmények összehasonlítása

és

esetén.

A III.30. ábrán a

választás mellett az integrátorhoz kapcsolódó sajátérték hatása látható. A

sajátérték negatív irányban történő növelése itt is egyre gyorsabb tranzienseket eredményez a kimeneti jelben, a beavatkozó jel pillanatértéke erőteljesebben növekszik az előző sorozathoz képest, az erősítésértékek növekedése itt is tapasztalható. A beavatkozó jelben túllövés is megfigyelhető, ami erőteljesebb gyorsítást eredményez. A tranziens nagyjából 6 s után eltűnik, míg az előző sorozatban ehhez nagyjából 10 s-ra volt szükség. Megfigyelhető, hogy a szabályozott rendszer ugrásválaszának tranziense alkalmasan választott

mellett gyorsabb, mint a szakasz ugrásválasza.

A III.31. ábrán a szimulációs és mérési eredmények összehasonlítása látható a

értékre.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2204/#m1437lreszaum_2204 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2204/#m1437lreszaum_2204)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2204/#m1437lreszaum_2204)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2205/#m1437lreszaum_2205 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2205/#m1437lreszaum_2205)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2205/#m1437lreszaum_2205)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

III.30. ábra. A szabályozási kör kimeneti jele és irányítójele

mellett,

függvényében.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2207/#m1437lreszaum_2207 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2207/#m1437lreszaum_2207)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2207/#m1437lreszaum_2207)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2208/#m1437lreszaum_2208 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2208/#m1437lreszaum_2208)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2208/#m1437lreszaum_2208)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

III.31. ábra. A mérési és szimulációs eredmények összehasonlítása

és

esetén.

A III.32. ábrán a

választás mellett az integrátorhoz kapcsolódó sajátérték hatása látható. Itt egyértelmű, hogy a szabályozott rendszer ugrásválaszának tranziense gyorsabb, mint a szakasz ugrásválasza. A

sajátérték negatív irányban történő növelése itt is javít a tranziens viselkedésen, gyorsítja azt, a beavatkozó jelben azonban erőteljesebb túllövés tapasztalható, de a maximális érték minden esetben a maximális 5 V alatt van. A tranziens a leggyorsabb felfutás mellett nagyjából 1,5 s után eltűnik, ami jelentős javulás a fentiekhez képest.

A III.33. ábrán a szimulációs és mérési eredmények összehasonlítása látható a

értékre.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2212/#m1437lreszaum_2212 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2212/#m1437lreszaum_2212)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2212/#m1437lreszaum_2212)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2213/#m1437lreszaum_2213 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2213/#m1437lreszaum_2213)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2213/#m1437lreszaum_2213)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

III.32. ábra. A szabályozási kör kimeneti jele és irányítójele

mellett,

függvényében.

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2215/#m1437lreszaum_2215 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2215/#m1437lreszaum_2215)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2215/#m1437lreszaum_2215)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

Harvard

(): . : . : /hivatkozas/m1437lreszaum_2216/#m1437lreszaum_2216 ()

Chicago

. . . : . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2216/#m1437lreszaum_2216)

APA

(). . . (: /hivatkozas/m1437lreszaum_2216/#m1437lreszaum_2216)

BibTeX EndNote Mendeley Zotero

III.33. ábra. A mérési és szimulációs eredmények összehasonlítása

és

esetén.

A szimulációs eredményeket 200 mintapontban és nulla kezdeti értékekkel az alábbi egyszerű Matlab programmal számolhatjuk ki:

for i = 1:200,

e = 1-y; % hibaszámítás

d = d + e*Ts; % a hiba integrálja

xh = F*xh+G*y+H*u; % a megfigyelő generálta állapotvektor

u = -k(1:2)*xh+k(3)*d; % beavatkozó jel a szabályozó által

y = c*x; % a modell kimeneti jele

x = FI*x+Gamma*u; % a modell állapotvektora

end

Arduino UNO környezetben a futtatás elvégzésére a diszkrét idejű PID-szabályozóknál bemutatott programot kismértékben kell csak módosítani. A változók deklarálása a fenti szabályozóhangolásoknak megfelel:

unsigned long t0, t1;

float ref=1.0, u=0, d=0, Ts=0.05;

bool meres=false;

float F[4] = {0.8260, 0.2732, 0.0848, 0.7003};

float G[2] = {-0.1884, 0.2105};

float H[2] = {0.0892, 0.0044};

float xk[2] = {0.0, 0.0}, xk0, xk1;

float k[3] = {7.6877, 28.8529, 74.3443};

függvényen nem kell változtatni. A

függvényben a beavatkozó jel számítását kell értelemszerűen megváltoztatni. A két állapotváltozó (

és

) itt mérhető, amelyekkel a megfigyelő viselkedése vizsgálható. Az

hibajel előállítása után a fentiek ismeretében lefuttatjuk a megfigyelő algoritmusát, majd a becsült értékekkel előállítjuk a szabályozó algoritmus

beavatkozó jelét, amely 0 V és 5 V között limitált. A kódrészlet az alábbi:

float error = ref - uc2;

d = d + error*Ts;

xk0 = F[0]*xk[0] + F[1]*xk[1] + G[0]*uc2 + H[0]*u;

xk1 = F[2]*xk[0] + F[3]*xk[1] + G[1]*uc2 + H[1]*u;

xk[0] = xk0;

xk[1] = xk1;

u = -(k[0]*xk[0]+k[1]*xk[1])+k[2]*d;

Lineáris rendszerek és szabályozások Arduino UNO mikrovezérlővel

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2026

ISBN: 978 963 664 238 9

Műszaki tudományok

A könyv a lineáris rendszerek és lineáris szabályozások témaköreit dolgozza fel azzal a céllal, hogy az elméleti ismereteket egyszerűen kivitelezhető gyakorlati problémák megoldásával támassza alá, különös hangsúlyt fektetve ezért az Arduino UNO mikrovezérlő használatára. Fontos célunk, hogy a bemutatott demonstrációs eszközök egyszerűen kivitelezhetőek legyenek, így az eredmények könnyen rekonstruálhatóak, ugyanakkor jó alapot biztosítanak a továbblépéshez, bonyolultabb berendezések építéséhez, és az elmélet helyes alkalmazásához.

Az első rész a felhasznált hardvereket és szoftvereket mutatja be. A Matlab alapvető jelentőségű rendszerek analízisében, szabályozások tervezésében, és a különféle szimulációkban. A könyvbeli példákat Matlab környezetben dolgoztuk ki. Ezek bemutatása nagyon részletes, a példák nagyban segítik az elmélet megértését. Az Arduino UNO mikrovezérlőre és a hozzá kapcsolható egyéb hardverekre egyszerűségük és kedvező áruk miatt esett a választás. A Matlab környezetben tervezett szabályozókat, illetve a méréseket ezzel a mikrovezérlővel valósítjuk meg.

Számos nagyon jó könyv létezik, amelyek a szükséges mélységben vezetik be az Olvasót a Jelek és rendszerek, illetve a Szabályozástechnika témakörökbe. Néhányat a könyv végén található irodalomjegyzékben megadunk. Szándékosan csak magyar nyelvű könyveket sorolunk itt fel, a témakör hazai és nemzetközi irodalma óriási.

A második részben a Jelek és rendszerek témakörét dolgozzuk fel, ahol az elméleti háttér mellett illusztratív példákat hozunk, melyek segítségével könnyebben érthetővé válnak a tárgyalt fogalmak és módszerek. A témában számos kiváló irodalom fellelhető, melyekre hivatkozva tömör összefoglalását adjuk a témakörnek.

A harmadik rész a Szabályozástechnika területét járja körbe, ismét csak nagyon tömören, a klasszikus PID szabályozóktól az állapottér alapú szabályozásokig mutatjuk be a módszereket. Az elméleti alapokat egy konkrét példa illusztrálja.

A negyedik rész két esettanulmányt tárgyal nagyon részletesen. Az első egy egyenáramú motor, melynek modellezését, paramétereinek méréseken alapuló identifikálását és fordulatszámának szabályozását mutatjuk be. A másik egy instabil rendszer, egy lejtőn guruló golyó stabilizálását valósítja meg. Elvégezzük a demonstrációs eszközök aprólékos matematikai modellezését, a szabályozási körök elméleti tervezését, majd gyakorlati megvalósítását.

Reményeink szerint a könyv az Olvasó segítségére lesz a lineáris rendszerek és szabályozások megismerésében, valamint gyakorlatban való alkalmazásukban. A könyv jól használható az egyetemi mérnöki és informatikus oktatásban, különösen a témakörbe vágó szakdolgozatok, diplomamunkák és a hallgatói kutatómunka területén.

A közölt mintaprogramok szabadon felhasználhatók, továbbfejleszthetők.

Hivatkozás: https://mersz.hu/kuczmann-linearis-rendszerek-es-szabalyozasok-arduino-uno-mikrovezerlovel//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero