Holics László (szerk.)

Fizika

23.1.7.2. Az ideális gáz mikroállapotainak száma

Határozzuk meg az N részecskéből álló, E energiájú és V térfogatú egyatomos ideális gáz mikroállapotainak számát!

Az ideális gáz részecskéinek mozgása egymástól teljesen függetlenül zajlik. Függetlenek továbbá az egyes részecskék hely- és sebességkoordinátái is, hiszen egy részecske bármely helyen azonos valószínűséggel veszi fel az egyes sebességértékeket. Ebből már következik, hogy a mikroállapotok összeszámlálásakor egymástól függetlenül vizsgálhatjuk a térbeli elrendezéseknek csak a f(V) térfogattól függő és a sebességeloszlásból adódó lehetőségeknek csak az energiától függő g(V) számát. A mikroállapotok száma tehát ebben az esetben két, egymástól független tényező szorzataként állítható elő, azaz

(23.14)

Az f(V) tényező értékét egyszerűen megbecsülhetjük, hiszen ha figyelembe vesszük, hogy minden részecske azonos valószínűséggel tartózkodik a rendelkezésre álló térrész bármely egyenlő térfogatú részében, akkor adódik, hogy egy részecske esetén a térbeli elrendezések miatt a térfogattal arányos számú mikroállapot létezik. A részecskék függetlensége miatt ezek a lehetőségek összeszorzódnak, így:

(23.15)

A mikroállapotok száma és az energia közötti összefüggés megállapításához írjuk fel az energiát a részecskék pi impulzusának függvényében! Azt kapjuk, hogy

(23.16)

Fejezzük ki az egyes impulzusokat derékszögű koordinátáikkal a következő alakban:

(23.17)

Így az energiát 3N négyzetes tag összege határozza meg. Tekintsük a pix, piy, piz, (i = 1, 2,… N) impulzuskomponenseket egy 3N dimenziós térbeli P vektor összetevőinek. A térbeli Pitagorasz-tétel analógiájára ennek a vektornak a hossza

(23.18)

Megjegyzés: A geometriai analógia teljesen formális. A háromnál több dimenziós tér geometriailag elképzelhetetlen. A két- és háromdimenziós tér vektorai azonban mindig megadhatók megfelelően választott egységvektorok lineáris kombinációjaként, azaz pl. térbeli vektor esetén

. Az xi számokat az r vektor koordinátáinak nevezzük. Az ei vektorok koordinátái: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Ebben az esetben az r(x1, x2, x3) és s(y1, y2, y3) vektor skaláris szorzata r·s = x1y1 + x2y2 + x3y3, az r vektor négyzete

, így hossza

A fentiek analógiájaként bizonyos szám-n-eseket n dimenziós vektorok koordinátáinak tekinthetünk. Ilyenkor e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), e3 = (0, 0, …, 1). Az egységvektorok koordinátái n – 1 db zérusból és 1 db 1-esből állnak. Ebben a konstrukcióban a háromdimenziós tér vektoraira vonatkozó műveleti szabályok változatlanul fennállnak, csak az összegzéseket kell az 1, …, N komponensekre kiterjeszteni.

A rendszer energiája pedig:

(23.19)

Mivel az energia állandó, P végpontja n dimenziós gömb felszínén fut végig, amelynek sugara:

(23.20)

Megjegyzés: A háromdimenziós gömb analógiájára n dimenziós gömbnek nevezzük az egyenlő hosszúságú vektorok végpontjaival meghatározott alakzatot. Az n dimenziós gömb térfogata arányos rn-nel, felszíne pedig rn–1-nel, ahol r a gömb sugara.

A dobozba zárt részecske tárgyalásakor már megállapítottuk, hogy szokásos körülmények között az energiaszintek igen sűrűn helyezkednek el, azaz az energia folytonos mennyiségként kezelhető. Hasonló módon folytonosnak foghatjuk fel az energiát sok részecskéből álló rendszer esetén is. Így az E és E + ΔE közé eső energiaállapotok g(E) száma a

sugarú gömbök közé eső 3N dimenziós gömbhéj térfogatával arányos, azaz

(23.21)

Látható, hogy ez az eredmény N = 1-re visszaadja a dobozba zárt részecskéknél kapott

-es összefüggést. Ideális gáz esetén tehát:

(23.22)

A részecskék számának növekedése tehát gyorsan növeli a mikroállapotok számát.

Az egyetlen részecske állapotsűrűségének meghatározásakor alkalmazott eljáráshoz hasonlóan most is lényegében klasszikus közelítést alkalmaztunk. A közelítés során egyrészt a diszkrét energiaállapotok sűrű elhelyezkedése miatt folytonos energiaeloszlásra tértünk át, másrészt a függetlenrészecske-közelítés alkalmazásakor nem vettük figyelembe, hogy a részecskék megkülönböztethetetlenek. A folytonos energiaeloszlás feltételezése miatt az állapotok számát tulajdonképpen most is az E és E + ΔE energiáktól meghatározott fázistértartomány térfogatával közelítettük. A részecskék megkülönböztethetetlenségét azonban a (23.22) állapotsűrűség meghatározásakor nem vettük figyelembe. A mikroállapotok száma a rendszert alkotó részecskék megkülönböztethetetlensége esetén az

arányossággal fejezhető ki.

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2017

Nyomtatott megjelenés éve: 2009

ISBN: 978 963 454 046 5

Fizika

A könyv alapmű, az érettségire, felvételire készülő középiskolások, a felsőoktatásban fizikát hallgatók, illetve tanáraik, oktatóik kipróbált segédeszköze. Sikerének titka a legváltozatosabb olvasói rétegek igényeihez szabott letisztult tárgyalásmódja, áttekinthető, arányos szerkezete és bőséges szemléltető ábraanyaga. A szerzők világosan bemutatott axiómákból és alapfogalmakból indulva lépésről lépésre vezetik le a fizikai törvényeket és összefüggéseket. Az első három főfejezet a klasszikus fizikát (mechanika, termodinamika, elektrodinamika és optika), a továbbiak a modern fizikát (relativitáselmélet, atomfizika és kvantummechanika, sokrészecske-rendszerek leírása, anyagszerkezettan, magfizika, elemi részek és az univerzum) tárgyalják; a tájékozódást név- és tárgymutató segíti. A mostani kiadást a modern gyakorlati alkalmazásokkal foglalkozó, új fejezetek és a teljesen felújított, közel 900 ábrából álló képanyag teszi valóban korszerűvé. A fizika története egyidős az emberi gondolkodáséval. Az emberiséggel együtt fejlődő tudományág mindennapjainkba régóta beépült eredményeit és izgalmas új felfedezéseit összefoglaló kézikönyvet jó szívvel ajánljuk vizsgára készülőknek, egykori vizsgázóknak, a fizika barátainak és minden természettudományos érdeklődésű olvasónak.

Hivatkozás: https://mersz.hu/holics-fizika//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero