Válts MeRSZ+ -ra!

MeRSZ online
okoskönyvtár

Több száz tankönyv egy helyen.
Online. Bárhol. Bármikor.

Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika

Aranymetszés

A szabályos ötszög kiemelkedő jelentőségű a szabályos sokszögek közül. Oldalainak átlóihoz való viszonya, az egymást metsző átlók szeleteinek viszonya, valamint az a tény, hogy a szabályos ötszög az egyetlen olyan szabályos n szög, melynek átlói ugyancsak szabályos n szöget határoznak meg, az ókortól napjainkig esztétikai élményt nyújt a szemlélőnek. Ennek hátterében az aranymetszés áll.
Aranymetszésnek nevezzük egy mennyiség (pl. egy szakasz) olyan arányú felbontását, melyben a kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb darab az egészhez.
Vegyünk pl. egy egységnyi hosszúságú AB szakaszt, és jelöljük P-vel az aranymetszés szerinti osztópontot, x-szel a rövidebb szakasz hosszát (5.89. ábra).
5.89. ábra
Ekkor
Nyilván x < 1, így az aranymetszés arányszáma:
A kapott arányszámnak igen nagy jelentősége van a geometriában, a művészetekben, a természetben és még számos egyéb területen.
Most vizsgáljuk egy szakasz aranymetszeti felbontásának szerkesztését, vagyis szerkesszük meg azt a C pontot, mely a kérdéses szakaszt aranymetszeti arányban osztja két részre. Vegyünk fel egy AB = a hosszúságú szakaszt, és állítsunk rá merőlegest egyik (pl. az A) végpontjában. Mérjünk fel erre a merőlegesre
távolságot. Ennek O végpontja mint középpont köré rajzoljunk egy
sugarú kört. A körnek az OB egyenessel alkotott metszéspontjai E és F (5.90. ábra).
5.90. ábra
Az AEB és FAB háromszögek hasonlók, mert B-nél közös szögük van, továbbá EAB ∠ = BFA ∠, hiszen azonos íven nyugvó kerületi szögek. Ennek megfelelően írhatjuk:
A kapott egyenlőség éppen azt fejezi ki, hogy az AB szakasznak C pontja az aranymetszés szerinti osztópont, ahol AC a kisebb, BC pedig a nagyobb szelet.
Ha a szabályos ötszög egy oldalának két végpontját összekötjük az ötszög köré írt körének középpontjával, akkor a középpontnál 360°: 5 = 72° keletkezik. Ezek szerint a szabályos ötszög egy oldalának két végpontját a szemközti csúccsal összekötve olyan egyenlő szárú háromszöget kapunk, melynek szárszöge 36°, az alapon fekvő szögei 72°-osak (5.91. ábra).
5.91. ábra
Húzzuk meg e háromszög alapjának valamely végpontjából a szögfelezőt, melynek talppontja legyen D. A keletkező ABD háromszög szögei megegyeznek az eredeti ABC háromszög szögeivel, így az ABD háromszög szintén egyenlő szárú és nyilvánvalóan hasonló az eredeti háromszöghöz, továbbá
A szögfelezőtételből
Ez az egyenlőség pedig éppen azt fejezi ki, hogy a D pont a BC szakaszt az aranymetszésnek megfelelő arányban osztja két részre. Mindezeken túl a szabályos ötszögnek számtalan érdekes tulajdonsága van (5.92. ábra).
5.92. ábra
A szabályos ötszög átlói az aranymetszésnek megfelelő arányban metszik egymást, és e metszet nagyobbik szelete egyenlő az ötszög oldalával. A szabályos ötszög átlói egy újabb szabályos ötszöget határoznak meg, melynek oldala az eredeti szabályos ötszög oldalának kisebbik aranymetszete. A kapott eredményekből az is következik, hogy a szabályos tízszög (melyben valamely oldalhoz tartozó középponti szög 36°) oldala a köré írható kör sugarának hosszabbik aranymetszete. Ennek birtokában pedig már a szabályos tízszög is könnyen szerkeszthető.
Példák
  1. Van-e olyan szabályos sokszög, melynek külső szögei 72°-osak?
    Ha a szabályos sokszögnek n oldala van, akkor egy szöge
    Ekkor a sokszög külső szögei:
    Ha ez 72°, akkor
    Innen n = 5, tehát a szabályos ötszög külső szögei 72°-osak.
  2. Egy szabályos sokszögnek 6-tal több átlója van, mint oldalai számának 4-szerese. Mekkorák e sokszög szögei?
    A feltételek szerint
    A negatív gyök érdektelen, így a szabályos sokszögnek 12 oldala van. Ekkor egy szöge:
  3. Melyek azok az egybevágó szabályos sokszögek, amelyekkel a sík egyrétűen és hézagmentesen lefedhető?
    Ha a keresett szabályos sokszögnek n oldala van, és egy csúcsban k db szabályos sokszög érintkezik, akkor
    A kapott egyenlet bal oldalát könnyen szorzattá alakíthatjuk:
    A 4-et csak háromféleképpen tudjuk két pozitív egész szám szorzatára bontani: 1·4 = 2·2 = 4·1.
    Ha k – 2 = 1 és n – 2 = 4, akkor k = 3 és n = 6. Tehát szabályos hatszögekről van szó, és minden csúcsban 3 db érintkezik egymással.
    Ha k – 2 = 2 és n – 2 = 2, akkor k = n = 4. Ekkor négyzetről van szó, és a csúcsokban 4 db érintkezik egymással.
    Ha k – 2 = 4 és n – 2 = 1, akkor k = 6 és n = 3. Ekkor szabályos háromszögekről van szó, és minden csúcsban 6 db érintkezik egymással.
    Más egybevágó szabályos sokszögekkel a sík egyrétegűen és hézagmentesen nem fedhető le.
Matematika

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2016

Nyomtatott megjelenés éve: 2010

ISBN: 978 963 059 767 8

Matematika

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika//

BibTeXEndNoteMendeleyZotero
Kivonat
fullscreenclose
printsave