Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika

Kongruenciák

A kongruencia mint relációtípus fogalmát Karl Friedrich Gauss vezette be a XIX. században. A lényege, hogy az oszthatósági tulajdonságokat a kongruencia nyelvezetén megfogalmazva, azokkal viszonylag kényelmesen, az egyenlőségekhez hasonlóan tudjunk dolgozni. Minden pozitív egész számhoz mint modulushoz definiálható egy kongruenciareláció az egész számok halmazán, az alábbi módon.

Tartalomjegyzék

MATEMATIKA
Impresszum
Előszó
chevron_rightA kötetben használt jelölések
- Halmazok, logika, általános jelölések
- Elemi algebra, számelmélet
- Geometria, vektorok
- Függvények, matematikai analízis, valós és komplex függvények
- Fraktálok
- Kombinatorika, valószínűségszámítás
- Algebra, kódelmélet
- A görög ábécé betűi
chevron_right1. Halmazok
- 1.1. Alapfogalmak
- 1.2. Műveletek halmazokkal
- 1.3. A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet
- 1.4. További számhalmazok, halmazok számossága
chevron_right2. Logikai alapok
- 2.1. Állítások logikai értéke, logikai műveletek
- 2.2. Predikátumok és kvantorok
- 2.3. Bizonyítási módszerek
chevron_right3. Számtan, elemi algebra
- chevron_right3.1. Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, műveletek különböző számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás
  - chevron_rightMűveletek a természetes számok halmazán
- chevron_right3.2. Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a π), nevezetes közepek
  - Nevezetes arányok
  - Nevezetes közepek
- 3.3. Algebrai kifejezések és műveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok
- chevron_right3.4. Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és műveleteik
- 3.5. Számrendszerek
- chevron_right3.6. Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, első- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek)
- 3.7. Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek)
chevron_right4. Polinomok és komplex számok algebrája
- chevron_right4.1. Műveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó
  - Műveletek polinomokkal, oszthatóság
  - Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös
- chevron_right4.2. Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok
- chevron_right4.3. Komplex számok
- chevron_right4.4. Polinomok zérushelyei
  - Valós együtthatós polinomok zérushelyei
- 4.5. Többváltozós polinomok
chevron_right5. A sík elemi geometriája
- 5.1. A geometria rövid története
- chevron_right5.2. Geometriai alapfogalmak
  - Pontok, egyenesek, szakaszok
  - Szögek, szögpárok
- chevron_right5.3. Geometriai transzformációk
- chevron_right5.4. Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok
- chevron_right5.5. Négyszögek
  - chevron_right
    - Trapéz
    - Paralelogramma
    - Téglalap
    - Rombusz
    - Négyzet
    - Deltoid
- chevron_right5.6. Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés
  - chevron_right
    - Aranymetszés
- chevron_right5.7. A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintőnégyszögek
- chevron_right5.8. Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések
chevron_right6. A tér elemi geometriája
- 6.1. Alapfogalmak
- chevron_right6.2. Poliéderek
  - chevron_rightSpeciális poliéderek
    - Hasábok
    - Gúlák, csonka gúlák
- chevron_right6.3. Görbe felületű testek
- 6.4. Henger és kúp síkmetszetei
chevron_right7. Ábrázoló geometria
- chevron_right7.1. Bevezetés
  - Jelölések, szerkesztések
  - chevron_rightNéhány geometriai transzformáció, leképezés
- chevron_right7.2. Ábrázolás két képsíkon
- chevron_right7.3. Axonometrikus ábrázolás
  - Ábrázolás általános axonometriában
  - Speciális axonometriák
- chevron_right7.4. Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat
  - chevron_rightNéhány alapvető görbe ábrázolása
    - Kör, ellipszis
    - Közönséges csavarvonal
  - chevron_rightFelületek ábrázolása
  - chevron_rightFelületek síkmetszete
  - Felületek áthatása
- chevron_right7.5. Kótás ábrázolás
- chevron_right7.6. Néhány további ábrázolási módszer
  - chevron_rightCentrális ábrázolás
  - Sztereografikus projekció
- Irodalom
chevron_right8. Vektorok
- 8.1. A vektor fogalma és jellemzői
- chevron_right8.2. Műveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben
- chevron_right8.3. Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat
chevron_right9. Szögfüggvények
- chevron_right9.1. A hegyesszög szögfüggvényei
  - Speciális szögek szögfüggvényei
- chevron_right9.2. Szögfüggvények általánosítása
  - Addíciós tételek
- 9.3. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására
- 9.4. Trigonometrikus egyenletek
- chevron_right9.5. Trigonometrikus függvények és inverzeik
  - Trigonometrikus függvények
  - A trigonometrikus függvények inverzei
- chevron_right9.6. Gömbháromszögek és tulajdonságaik
  - Alapfogalmak
  - Gömbháromszögpárok
chevron_right10. Analitikus geometria
- chevron_right10.1. A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakasz osztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe)
- chevron_right10.2. Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága)
- chevron_right10.3. A kör egyenlete
  - A kör egyenlete, a kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet
  - chevron_rightKör és egyenes
- chevron_right10.4. Koordinátatranszformációk
  - chevron_right
    - Párhuzamos helyzetű koordináta-rendszerek
  - A koordináta-rendszer origó körüli elforgatása
- chevron_right10.5. Kúpszeletek egyenletei, másodrendű görbék
  - chevron_rightA parabola
    - A parabola érintője
  - chevron_rightAz ellipszis
    - Az ellipszis érintője
  - chevron_rightA hiperbola
    - A hiperbola érintője, aszimptotái
  - Másodrendű görbék
- 10.6. Polárkoordináták
- chevron_right10.7. A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendű felületek, térbeli polárkoordináták)
chevron_right11. Lineáris algebra
- chevron_right11.1. Mátrixok és determinánsok
- chevron_right11.2. Lineáris egyenletrendszerek
- chevron_right11.3. Vektorterek
- chevron_right11.4. Lineáris leképezések
- chevron_right11.5. Bilineáris függvények
  - Merőlegesség, ortogonális bázisok
  - Kvadratikus alakok
- chevron_right11.6. Euklideszi terek
- Ajánlott irodalom
chevron_right12. Absztrakt algebra
- 12.1. Az algebrai struktúrákról általában
- chevron_right12.2. Gyűrűelmélet, alapfogalmak
- chevron_right12.3. Kommutatív egységelemes gyűrűk
- chevron_right12.4. Csoportelmélet, alapfogalmak
- chevron_right12.5. További témák a csoportelméletből
- chevron_right12.6. Testek és Galois-csoportok
- chevron_right12.7. Modulusok
- 12.8. Hálók és Boole-algebrák
chevron_right13. Számelmélet
- chevron_right13.1. Bevezetés, oszthatóság
  - Maradékos osztás, euklideszi algoritmus
  - Prímszámok, prímfelbontás
- chevron_right13.2. Számelméleti függvények
- chevron_right13.3. Kongruenciák
  - Elsőfokú kongruenciaegyenletek
  - Magasabb fokú kongruenciaegyenletek
- chevron_right13.4. A kongruenciaosztályok algebrája
  - Primitív gyökök
- chevron_right13.5. Kvadratikus maradékok
  - A Legendre- és Jacobi-szimbólumok
- chevron_right13.6. Prímszámok
- chevron_right13.7. Diofantikus egyenletek
chevron_right14. Számsorozatok
- 14.1. A számsorozat fogalma
- 14.2. A számtani sorozat és tulajdonságai
- 14.3. A mértani sorozat és tulajdonságai
- 14.4. Korlátos, monoton, konvergens sorozatok
- 14.5. A Fibonacci-sorozat
- 14.6. Magasabb rendű lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor
chevron_right15. Elemi függvények és tulajdonságaik
- chevron_right15.1. Függvény
- chevron_right15.2. Polinomfüggvények
  - A másodfokú függvény
  - A másodfokú függvény tulajdonságai
- chevron_right15.3. Racionális törtfüggvények
- chevron_right15.4. Exponenciális és logaritmusfüggvények
- chevron_right15.5. Trigonometrikus függvények
- chevron_right15.6. Hiperbolikus függvények
chevron_right16. A valós analízis elemei
- 16.1. A valós számok alapfogalmai
- chevron_right16.2. Számsorozatok
- chevron_right16.3. Numerikus sorok
- chevron_right16.4. Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke
- chevron_right16.5. Többváltozós analízis elemei
  - Az Rp tér alapfogalmai
  - Folytonosság és határérték
chevron_right17. Differenciálszámítás és alkalmazásai
- chevron_right17.1. Differenciálható függvények
  - Differenciálható függvény fogalma
- chevron_right17.2. Nevezetes függvények deriváltja
- chevron_right17.3. Függvényműveletek és a deriválás kapcsolata
- chevron_right17.4. Differenciálható függvények tulajdonságai
  - Többszörösen differenciálható függvények
  - Középértéktételek, l'Hospital-szabály
- chevron_right17.5. Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására
- chevron_right17.6. Többváltozós függvények differenciálása
- chevron_right17.7. Fizikai alkalmazások
  - Sebesség
  - Gyorsulás
chevron_right18. Integrálszámításéés alkalmazásai
- chevron_right18.1. Határozatlan integrál
  - Primitív függvény
- chevron_right18.2. Riemann-integrál és tulajdonságai
- chevron_right18.3. Numerikus integrálás
- chevron_right18.4. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz)
- chevron_right18.5. Többváltozós integrál
chevron_right19. Közönséges differenciálegyenletek
- chevron_right19.1. Bevezetés
  - A differenciálegyenlet fogalma
  - A differenciálegyenlet megoldásai
- chevron_right19.2. Elsőrendű egyenletek
- chevron_right19.3. Differenciálegyenlet-rendszerek
  - Lineáris rendszerek megoldásának ábrázolása a fázissíkon
- chevron_right19.4. Magasabb rendű egyenletek
  - Hiányos másodrendű differenciálegyenletek
  - Másodrendű lineáris egyenletek
- 19.5. A Laplace-transzformáció
- chevron_right19.6. Függvénysorok
chevron_right20. Parciális differenciálegyenletek
- 20.1. Bevezetés
- chevron_right20.2. Elsőrendű egyenletek
- chevron_right20.3. Másodrendű egyenletek
- chevron_right20.4. Vektoranalízis és integrálátalakító tételek
- chevron_right20.5. A hővezetési egyenlet és a hullámegyenlet
chevron_right21. Komplex függvénytan
- 21.1. Bevezető
- chevron_right21.2. Reguláris függvények
- chevron_right21.3. Integráltételek
- chevron_right21.4. Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés
- chevron_right21.5. A reziduumtétel és alkalmazásai
- chevron_right21.6. Konform leképezések
- chevron_right21.7. Harmonikus függvények
  - A harmonikus függvény mint a reguláris függvény valós része
  - A harmonikus függvények néhány fontos tulajdonsága
chevron_right22. Fraktálgeometria
- 22.1. Bevezető példák
- 22.2. Mátrixok és geometriai transzformációk
- 22.3. Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények
- 22.4. Az IFS-modell
- 22.5. Olvasmány a halmazok távolságáról
- 22.6. Az IFS-modell tulajdonságai
- 22.7. IFS-modell és önhasonlóság
- 22.8. Önhasonló halmazok szerkezete és a „valóság”
- 22.9. A fraktáldimenziók
- 22.10. A hatványszabály (power law)
- 22.11. A boxdimenzió
- 22.12. Mit mér a boxdimenzió?
- 22.13. Tetszőleges halmaz boxdimenziója
- 22.14. Fraktáldimenzió a geodéziában
chevron_right23. Kombinatorika
- chevron_right23.1. Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási problémák
  - Binomiális együtthatók további összefüggései
- 23.2. Egyszerű sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlődő elemekkel
- chevron_right23.3. A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák
- chevron_right23.4. A kombinatorikus geometria elemei
chevron_right24. Gráfok
- 24.1. Alapfogalmak
- chevron_right24.2. Gráfok összefüggősége, fák, erdők
  - Minimális összköltségű feszítőfák keresése
- 24.3. A gráfok bejárásai
- chevron_right24.4. Speciális gráfok és tulajdonságaik
- chevron_right24.5. Irányított gráfok
- chevron_right24.6. Szállítási problémák modellezése gráfokkal
- 24.7. Véletlen gráfok
- chevron_right24.8. Gráfok alkalmazásai
- chevron_right24.9. Gráfok és mátrixok
  - Gráfok spektruma, a sajátérték-probléma, alkalmazás reguláris gráfokra
chevron_right25. Kódelmélet
- chevron_right25.1. Bevezetés
  - Huffman-kódok
- chevron_right25.2. Hibajavító kódok
  - Egyszerű átalakítások
  - Korlátok Aq (n, d)-re
- chevron_right25.3. Lineáris kódok
- 25.4. Ciklikus kódok
chevron_right26. Valószínűség-számítás
- 26.1. Alapfogalmak, bevezetés
- 26.2. Valószínűségi mező, események, eseményalgebra
- 26.3. Feltételes valószínűség, függetlenség
- chevron_right26.4. Valószínűségi változók
- chevron_right26.5. Nevezetes diszkrét eloszlások
- chevron_right26.6. Nevezetes folytonos eloszlások
- chevron_right26.7. Az eloszlások legfontosabb jellemzői: a várható érték és a szórás
- chevron_right26.8. A nagy számok törvényei
  - A nagy számok gyenge törvényei
  - Nagy számok erős törvényei
- chevron_right26.9. Nevezetes határeloszlás-tételek
  - A matematikai statisztika alaptétele
- chevron_right26.10. Korreláció, regresszió
  - Kétváltozós regresszió
- 26.11. Egyszerű véletlen folyamatok matematikai leírása
chevron_right27. Matematikai statisztika
- 27.1. Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság
- chevron_right27.2. Adatok szemléltetése, ábrázolása
- chevron_right27.3. Átlag és szórás
- chevron_right27.4. Idősorok
- chevron_right27.5. Összefüggések két ismérv között
- chevron_right27.6. Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás
  - A standardizálás módszere
- chevron_right27.7. A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat
- chevron_right27.8. A Bayes-statisztika elemei

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2016

Nyomtatott megjelenés éve: 2010

ISBN: 978 963 059 767 8

Matematika

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero