Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika

Euler-féle poliéderformula

Egy fontos, matematikán belüli alkalmazása a gráfelméletnek a nevezetes Euler-féle poliédertétel bizonyítása (lásd még a 23.4. fejezet végén leírtakat is). E tétel egyik fontos következménye a szabályos testek karakterizációja. A bizonyítás lényege, hogy miként a következő pontban a térképek színezésénél, egy síkba rajzolható gráfot tudunk a poliéderhez rendelni. Ebben a gráfban a minimális (további köröket nem tartalmazó) köröket és az egyetlen maximális (minden más kört tartalmazó) kört, más megfogalmazásban a tartományokat feleltetjük meg a lapoknak, míg a csúcsoknak és az éleknek rendre a gráf csúcsait és éleit az alábbi módon. A fő lépés a poliéder levetítése egy síkra, amely minden közönséges poliéder esetén megtehető, amely topologikusan izomorf egy gömbbel, szemléletesen, felfújható egy gömbbé. Ez két lépésben történik. Először a poliédert egy gömb belsejébe helyezzük, majd „felfújjuk”, hogy hálója a gömb felszínére „simuljon”. Ekkor egy gömbre rajzolását kapjuk testháló meghatározta gráfnak. Ezután egyik gömbfelszíni tartományának egy belső pontjából (É-i sark) sztereografikus projekcióval levetítjük az említett ponton és a gömb középpontján átmenő egyenesre merőleges és a gömböt (a D-i sarkban) érintő síkra. Belátható, hogy a kapott kép egy síkba rajzolása a gráfnak. A lényeg, hogy e hozzárendelések kompozíciója olyan bijekció, amely a csúcs-él, az él-tartomány (és a tartomány-csúcs) illeszkedéseket megtartja. Emiatt a gráfokra vonatkozó tételből következik annak a poliéderre vonatkozó megfelelője. A gráfokra vonatkozó tétel ezután így hangzik:

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2016

Nyomtatott megjelenés éve: 2010

ISBN: 978 963 059 767 8

Matematika

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero