Csernák Gábor, Stépán Gábor

Rezgéstan

3.4.2. Erő- vagy nyomatékgerjesztett rendszerek stacionárius megoldásának meghatározása

3.7. példa: A 3.11. ábrán vázolt mechanikai rendszer elemei kis kitérésű lengéseket végeznek a vízszintes síkban. Az általános koordináták vektora

. A rúdra

gerjesztő nyomaték, a korongra pedig

gerjesztő erő hat. Határozzuk meg az állandósult lengés amplitúdóját és fázisszögét, és számítsuk ki a

merevségű rugóban ébredő erő legnagyobb értékét!

3.11. ábra. Rúdból és korongból álló 2 DoF gerjesztett lengőrendszer

nyomaték- és

erőgerjesztéssel

A rendszer kinetikus energiája

ahol

és

a két test

, illetve

ponton átmenő tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka. Ebből az általános tömegmátrix

A potenciális energia

amiből kétszeres deriválással kapjuk az általános merevségi mátrixot:

Az erő- és nyomatékgerjesztésnek megfelelő általános erő komponenseket a teljesítmény kifejezéséből számíthatjuk ki:

Mivel az

nyomaték azonos értelmű, mint az

szögsebesség, viszont az

erő iránya ellentétes az

koordináta-rendszerben felírt

sebességvektor irányával, a teljesítményt az alábbi alakban adhatjuk meg:

(3.53)

Ugyanakkor a (2.139) egyenlet szerint a teljesítmény kifejezhető az általános erőkkel és sebességekkel is:

(3.54)

(3.53) és (3.54) összevetéséből

A fenti egyenletekben megjelöltük a két általános erő komponens szinuszos és koszinuszos összetevőinek együtthatóit, ugyanis ezekből állítható össze a gerjesztő erő amplitúdóit tartalmazó vektor.

A gerjesztett rendszer stacionárius megoldásában szereplő

együtthatók a (3.50) egyenlet alapján felírt

lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatók meg.

merevségű rugóban ébredő erő a rugó két végének elmozdulásából számítható:

Mivel az állandósult állapotban

és

, ez az erő

alakban fejezhető ki, ahol bevezettük az

és

jelöléseket. A maximális rugóerő meghatározásához a (2.11) egyenlethez hasonló átalakítást kell végrehajtani:

Mivel a szinuszfüggvény –1 és 1 közötti értékeket vehet fel, a maximális rugóerő

♠

3.8. példa: Láncszerű lengőrendszer gerjesztett rezgései. Vizsgáljuk meg a 3.3. példában vizsgált láncszerű rendszer gerjesztett rezgéseit abban az esetben, amikor

erő hat az

tömegű testre! Adott

N erőamplitúdó és

gerjesztési körfrekvencia mellett határozzuk meg úgy az

tömeg nagyságát, hogy az

tömegű test nyugalomban maradjon a stacionárius rezgés során! A 3.3. példának megfelelően

és

3.12. ábra. Erőgerjesztett tömeg-rugó lánc.

A 3.3 példában már meghatároztuk a tömeg- és merevségi mátrixot, de most

értéke ismeretlen:

A következő lépés az általános erő vektorának meghatározása. Ehhez írjuk fel a gerjesztő erő teljesítményét:

A teljesítmény kifejezésében

együtthatója lenne az általános erő vektor

komponense, ami most nulla.

együtthatójából

, tehát a mozgásegyenlet

azaz kifejtve

Mivel csillapítatlan a lengőrendszer, a partikuláris megoldást kereshetjük

(3.55)

alakban. Ezt azért tehetjük meg, mert csillapítás nélkül – az egy szabadsági fokú esethez hasonlóan – a gerjesztés és a megoldás (válasz) fázisa vagy azonos, vagy ellentétes (ezzel kapcsolatban lásd a (3.52) egyenlet megoldásáról leírtakat). A fenti próbafüggvényt vissza kell helyettesíteni a mozgásegyenletbe, amihez szükség van a második deriváltjára:

Visszahelyettesítés után a

egyenletre jutunk, aminek minden

időpontban teljesülnie kell. Tehát

-vel egyszerűsíthetünk, és így

(3.56)

Adott rendszerparaméterek mellett ebből már meghatározható lenne az

vektor mindkét eleme, tehát tényleg megfelelő volt (3.55) alakban keresni a partikuláris megoldást.

Most nincs megadva az

tömeg; ezt abból a feltételből lehet meghatározni, hogy az

vektor második eleme nulla kell legyen. Tehát ebben az esetben is két ismeretlen van az egyenletben:

és

első eleme – amit

-gyel jelölünk. A (3.56) egyenlet tehát így fejthető ki:

azaz

Az egyenletrendszer első egyenletéből

amiből a keresett

tömeg

Az egyenletrendszer második sorából az

tömegű test stacionárius rezgésének maximális nagyságú kitérésére

m adódik. A negatív előjel arra utal, hogy a gerjesztéssel ellentétes fázisban mozog a test.

Tehát az

tömeg megfelelő megválasztásával zérussá tehető az

tömegű test amplitúdója az állandósult állapotban, pedig éppen arra a testre hat a gerjesztő erő. Az ilyen tulajdonságú lengőrendszereket dinamikus lengésfojtónak nevezik.

Ha az

tömegű testet lerögzítenénk, akkor az

tömegű testből és a

merevségű rugókból álló egy szabadsági fokú lengőrendszernek

lenne a sajátkörfrekvenciája (lásd a 2.1.5. fejezetet), ami az

tömeg fenti megválasztásával éppen megegyezik a gerjesztés körfrekvenciájával. ♠

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2019

ISBN: 978 963 454 473 9

Műszaki tudományok BME GPK tankönyvek

Ez a kiadvány elsősorban gépészmérnök hallgatóknak kíván segítséget nyújtani a rezgéstan alapvető összefüggéseinek és módszereinek ismertetésével. Az itt közölt tananyagot a BME Gépészmérnöki Karán alapképzésben oktatott Rezgéstan illetve az öt éves egyetemi képzésben oktatott Lengéstan tantárgyak tematikája, és a 2012-ben megjelent ''A műszaki rezgéstan alapjai'' című jegyzetünk alapján állítottuk össze. Jelentős mértékben kiegészítettük és átírtuk a korábban megfogalmazott szövegrészeket, mert abban - terjedelmi korlátok miatt - nem volt lehetőségünk minden részletkérdés tisztázására. Fontos különbség az is, hogy ebben a kötetben az angolszász szakirodalomban leginkább elfogadott jelöléseket alkalmazzuk.

A jegyzet írása során a gépészmérnöki gyakorlat számára legfontosabb témakörökre helyeztük a hangsúlyt. Bízunk abban, hogy mind a hallgatók, mind az esetleg érdeklődő szakemberek haszonnal forgatják a könyvet.

Hivatkozás: https://mersz.hu/rezgestan//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero