MeRSZ online
okoskönyvtár
Több száz tankönyv egy helyen.
Online. Bárhol. Bármikor.
Szilárdságtan
11.6.1. Példák a Castigliano-tétel alkalmazására
11.1. példa: Határozzuk meg a 11.5. ábrán látható rúdszerkezet keresztmetszetének elmozdulását (lehajlását)!
Megoldás:
Az igénybevételi függvények:
A nyírás hatását elhanyagolhatjuk, így . Az keresztmetszetben az erő hat a rúdra, tehát az keresztmetszet lehajlásának meghatározásához szerint kell deriválni az alakváltozási energiát:
Az integrál eredménye
Megoldás:
Most az egyetlen igénybevétel a hajlítás. Mivel elfordulást kell meghatározni, az keresztmetszetben ható nyomaték szerint kell deriválni a hajlítónyomatéki függvényt:
♠
11.3. példa: Határozzuk meg a 11.7. ábrán látható rúdszerkezet keresztmetszetének elmozdulását! Ebben az esetben nem hat koncentrált erő az keresztmetszetben, pedig a Castigliano-tétel alkalmazásához kellene ott lennie egy erőnek, ami szerint deriváljuk a hajlítónyomatéki függvényt.
Megoldás:
A probléma megoldásához felveszünk egy nulla nagyságú erőt az keresztmetszetben. A hajlítónyomatéki függvény deriváltjának kiszámításához figyelembe kell venni ezt az erőt is:
A lehajlás ezek után a korábban megismert módon számítható. Az integrálás során az eredeti, hajlítónyomatéki függvényt használjuk, amit behelyettesítésével kapunk:
♠
Megoldás:
Ebben az esetben hat egy koncentrált erő a keresztmetszetben, tehát aszerint kell deriválni. A hajlítónyomatéki függvény a rúd két szakaszán:
Első látásra úgy tűnik, mintha csak függene az erőtől, azonban ez nem így van: az aktív erő változtatása során az és reakcióerők is megváltoznak. Tehát az szerinti deriválás előtt az reakcióerőt is ki kell fejezni az erővel, majd a kapott kifejezést kell visszahelyettesíteni a hajlítónyomatéki függvénybe. Az egyensúly feltételeiből könnyen kiszámítható, hogy
A lehajlás számítása ezek után már folytatható az integrálás elvégzésével:
11.5. példa: Határozzuk meg a 11.9. ábrán látható görbe rúd keresztmetszetének vízszintes elmozdulását!
Megoldás:
Amennyiben a rúd vastagságának és a görbületi sugárnak az aránya elég kicsi ahhoz, hogy a Navier-képlettel számolhassuk a rúdban ébredő feszültséget (lásd 2.5.2. fejezet), görbe rudak esetében is alkalmazható a Castigliano-tétel előző feladatokban bemutatott alakja. Mivel a keresztmetszetben éppen vízszintes irányú erő hat, szerint kell végrehajtani a deriválásokat az igénybevételi függvény(ek)ben. A rúd igénybevételei: normál, nyíró és hajlító igénybevétel. Ezek közül a hajlítás hatása a legjelentősebb, a másik kettőt most elhanyagoljuk.
Ahogy korábban is láttuk, előnyös a szabad vég felől felvenni a hajlítónyomatéki függvényt és a hozzá tartozó koordinátát, mert ez esetben nem jelennek meg az függvényben a reakcióerőrendszer elemei.1
A keresztmetszet elmozdulásának meghatározása során ügyelni kell az integrál megfelelő felírására. A 7.2. fejezetben az alakváltozási energia általános, tetszőleges testre érvényes képletét rúdra alkalmazva, térfogatra történő integrálásról tértünk át a rúd hossza menti integrálásra. Tehát az általános esetben ez egy ívhossz szerinti integrál. Ennek a kiszámítása egyenes rudaknál nem okoz problémát, mert az elemi ívhossz megegyezik a rúdirányú koordináta kis megváltozásával: . Görbe rudaknál azonban – mint ebben a feladatban is – általában egy szögkoordinátát használnak az igénybevételi függvények felírására. Akkor lesz helyes az integrálás, ha a elemi ívhosszat kifejezzük a radiánban mért elemi szöggel: . Tehát megjelenik a szerinti integrálban egy -rel történő szorzás, a helyettesítéses integrálás szabályainak megfelelően.
A számítás során felhasználtuk, hogy
♠
1 A befogás felől mért koordinátával felírt hajlítónyomatéki függvényben megjelennének a reakciók, amiket ki kellene fejezni az aktív erővel az szerinti deriválás előtt. Tehát az ábrán jelölt koordináta felvételével megtakaríthatjuk a reakciók kifejezését, és azok behelyettesítését a hajlítónyomatéki függvénybe.
Tartalomjegyzék
- Szilárdságtan
- Impresszum
- Előszó
- 1. Alapfogalmak, rudak húzása-nyomása
- 2. Hajlítónyomatéki igénybevétel
- 3. Nyíró- és csavaróigénybevétel
- 4. Összetett igénybevételek
- 5. Feszültségi állapot
- 5.1. A feszültség értelmezése
- 5.2. A feszültség iránytól való függése
- 5.3. A feszültségvektor vetületeinek számítása skaláris szorzással
- 5.4. A feszültségi tenzor mátrixa
- 5.5. A tenzor és a mátrix közötti különbség
- 5.6. Főfeszültségek és feszültségi főirányok
- 5.7. A főfeszültségek és főirányok grafikus meghatározása – Mohr-körök
- 5.1. A feszültség értelmezése
- 6. Alakváltozási állapot
- 7. Alakváltozási energia
- 8. Méretezés többtengelyű feszültségi állapot esetében
- 9. A rugalmas szál differenciálegyenlete
- 10. Stabilitásvesztés: hosszú, nyomott rudak kihajlása
- 11. A Castigliano-tétel
- 12. Statikailag határozatlan szerkezetek
- 13. Vékonyfalú tartályok membránelmélete
- 14. Függelék
- Felhasznált és ajánlott irodalom
Kiadó: Akadémiai Kiadó
Online megjelenés éve: 2021
ISBN: 978 963 454 698 6
Ez a kiadvány a BME Gépészmérnöki Karán alapképzésben oktatott Szilárdságtan tantárgy tematikájához igazodik, tehát elsősorban gépész- és mechatronikai mérnök hallgatóknak kíván segítséget nyújtani a szilárdságtan alapvető összefüggéseinek és módszereinek ismertetésével. Az itt közölt ismeretanyag a BME Műszaki Mechanikai Tanszék dolgozóinak több évtizedes oktatási tapasztalata alapján alakult ki, akik folyamatosan részt vettek a tantárgy tananyagának és oktatási módszereinek fejlesztésében. Köszönettel tartozom munkatársaimnak, hogy tudásukat, tapasztalataikat megosztották velem. Különösen hálás vagyok Kovács Ádám és Berezvai Szabolcs kollégáimnak, akik számos hasznos javaslattal segítették munkámat. Bízom abban, hogy mind a hallgatók, mind az esetleg érdeklődő szakemberek haszonnal forgatják majd ezt a könyvet.
Hivatkozás: https://mersz.hu/csernak-szilardsagtan//
BibTeXEndNoteMendeleyZotero
gomb segítségével választhatsz, hogy fejezetről fejezetre lapozva vagy inkább folyamatosan görgetve olvasnád-e a könyvet.
