Gerőcs László, Vancsó Ödön (szerk.)

Matematika

Oldalfelező merőlegesek

A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható körének a középpontja.

Az 5.59. ábrán két oldalfelező merőlegest rajzoltunk be, ezek metszéspontja K.

5.59. ábra

KA = KB, hiszen K rajta van AB felező merőlegesén. De KA = KC, hiszen K rajta van AC felező merőlegesén is. Ezek szerint KB = KC, ami azt jelenti, hogy K-nak illeszkednie kell a BC oldal felező merőlegesére is. Mivel a K pont a háromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van, ezért a K középpontú AK sugarú kör áthalad a háromszög B és C csúcsain is, vagyis a K pont a háromszög köré írható körének a középpontja.

Megjegyzés. A háromszög köré írható körének K középpontja hegyesszögű háromszög esetén a háromszög belső pontja, derékszögű háromszög esetén az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli pont (5.60a–c ábra).

5.60. ábra

Ha a háromszög oldalai a, b, c, területe T, akkor köré írható körének R sugara:

Tekintsük ugyanis az 5.61. ábrát, melyen berajzoltuk az ABC háromszög köré írható körének C-ből induló átmérőjét.

5.61. ábra

Thalész tétele miatt CAP ∠ = 90°, továbbá PAC ∠ = CBT ∠ (azonos íven nyugvó kerületi szögek), ezért a CTB és CAP háromszögek hasonlók. Felírhatjuk az alábbi egyenlőséget:

(5.7)

Az ABC háromszög T területe:

, ahonnan

Ezt (5.7) egyenletbe helyettesítve kapjuk:

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2016

Nyomtatott megjelenés éve: 2010

ISBN: 978 963 059 767 8

Matematika

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika kötete a XXI. század kihívásainak megfelelően a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvető fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklődőket. Ennek megfelelően a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsőoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a nagyobb hangsúlyt, de ezek mellett olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismeretek is szerepelnek, amelyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak az olvasónak. Fontos szempont volt az is, hogy bekerüljenek a kötetbe középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett - bár érintőlegesen - a matematikai kutatások néhány újabb területe (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is teret kap.

Néhány felsőoktatási intézményben alapvetően fontos témakör az ábrázoló geometria, amit a forgalomban levő matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintőlegesen tárgyalnak, ezért kötetünkben részletesebben szerepel, ami elsősorban a műszaki jellegű felsőoktatási intézményekben tanulóknak kíván segítséget nyújtani.

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. A könyv a szokásosnál bővebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe.

Hivatkozás: https://mersz.hu/gerocs-vancso-matematika//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero