Simonyi Károly

A fizika kultúrtörténete a kezdetektől a huszadik század végéig

4.2.7. A mechanika mint poézis

Euler mindennapi használatra való eszközt formált a newtoni gondolatokból, amellyel most már minden értelmes, kellően felkészült ember nekiláthat a gyakorlati, mérnöki feladatok megoldásához. Lagrange és Hamilton (4.2-15 és 16 ábra) kezében ez az eszköz tovább finomodott, nemcsak egyre bonyolultabb problémák megoldására vált alkalmassá, de közben önmaga is művészi alkotássá vált. A fejezet címe Hamilton véleményére utal; ő mondta Lagrange munkájáról: „a scientific poem”.

4.2-15 ábra.

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736–1813) Torinóban született, ott is nevelkedett. 19 éves korában a torinói tüzériskolában a matematika tanára lett. Az általa alapított Torinói Királyi Akadémia kiadványában jelentek meg első jelentős matematikai és fizikai munkái (az izoperimetrikus probléma megoldása, rezgő húrok elmélete, hang terjedése). Euler utódaként (Euler Pétervárra ment) Lagrange húsz évig Berlinben dolgozott. 1787-től Párizsban él. 1795-től az École Normale és az École Polytechnique előadója. Kiváló pedagógusként, személyén és könyvein keresztül hatva, tudós nemzedékek tisztelték szellemi atyjukként. Legnagyobb hatású munkája a Mécanique analytique (1788, Párizs) és a Théorie des functions analytiques (1797). A XX. század fizikája számára is megmaradt a Lagrange-függvény és Lagrange másodfajú egyenleteinek fontossága.

4.2-16 ábra.

WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805–1865)Dublinban született, ott tanult, majd tanított és kutatott mint az asztronómia professzora és mint „ír királyi asztronómus”. Csodagyerek volt: ötéves korában latin, görög és héber nyelvből fordított, 16 éves korára feldolgozta Newton Principiáját és Laplace Égi mechanikáját. 22 éves korában, egyetemi tanulmányai befejezése előtt kapta meg professzori kinevezését. Életének késői szakára túlzott alkoholfogyasztása vet árnyékot. A XX. század fizikája szempontjából legfontosabb a Theory of Systems of Rays (1827), ill. az On a General Method in Dynamics (1835) című munkája. Hamilton nevét a klasszikus mechanikában a Hamilton-elv és a Hamilton-féle kanonikus egyenletek, valamint a Hamilton-hatásfüggvény őrzik.

Először röviden ismertetjük Lagrange másodfajú egyenleteit.

Legyen egy tetszés szerinti bonyolult mechanikai rendszer, amelynek helyzetét a q1, q2, … qf egymástól független f-számú általánosított helykoordináta írja le; más szóval úgy mondjuk, a rendszer f szabadsági fokkal rendelkezik. Képezzük a rendszer kinetikus és potenciális energiájának különbségét:

Ez az L függvény a rendszerhez tartozó Lagrange-függvény. A mozgásegyenleteket az erre felírható másodfajú Lagrange-egyenletek adják

Egyetlen, az U(x) potenciálból származtatható erő hatására mozgó tömegpont esetében

így tehát

így a másodfajú egyenletek a mozgásegyenlet szokásos

alakját adják. A Lagrange-egyenletek előnye természetesen nem az ilyen primitív példáknál jelentkezik.

A Hamilton-elv csírájában már Lagrange-nál megtalálható. Vegyük az L = T– U Lagrange-függvényt, akkor a rendszer két rögzített pont között azon a pályán fog végighaladni, amelyre a Lagrange-függvény időintegrálja szélső értéket ad:

vagy egyszerűbben írva

Ha azt az x értéket keressük, amely egy adott y = y (x) függvény szélső értékét, tehát maximumát vagy minimumát adja, akkor az y =y (x) függvény differenciálhányadosát kell vizsgálnunk. Ahol az első derivált értéke nulla, ott lehet szélső érték. Hogy van-e, és az maximum vagy minimum, azt a második (esetleg a további) differenciálhányados dönti el. Ha azt az y = y (x) függvényt keressük, amely egy adott F (x, y, y’) függvénynek megadott határok között vett határozott integrálját teszi extremálissá, akkor a variációszámítás módszereit kell alkalmaznunk. A legegyszerűbb ilyen jellegű feladat: milyen görbével kell összekötnünk két pontot, ha azt akarjuk, hogy a görbe hossza a legkisebb legyen; a válasz is egyszerű: a keresett görbe az egyenes.

Az előző fejezetekben is találkoztunk már hasonló kérdéssel; ilyen volt a brachisztochron problémája: keressük azon lejtő vezérgörbéjét, amelyen egy, csak a gravitációs erő hatására mozgó test két pont között a lehető legrövidebb idő alatt csúszik le. Bár többen – így Jakob Bernoulli, Leibniz, Newton – is helyes választ adtak erre a Johann Bernoulli által felvetett (és meg is oldott) problémára, Euler volt az, aki általános megoldást adott a hasonló jellegű problémákra.

Legyen ugyanis y = y (x) az a függvény, amely az

(numerikus) értékét extremálissá teszi, akkor y = y (x) eleget kell hogy tegyen a variációszámítás ún. Euler-egyenletének:

Teljesen hasonló alakú differenciálegyenletek írhatók fel, ha több függő változó van, vagyis yi = yi (x); i =1, 2, … f; ilyenkor az F függvény

alakú, az Euler-egyenletek pedig a következők:

Rögtön látjuk, hogy az

követelményhez a

Euler-egyenletek tartoznak. Tehát az Euler-egyenletek azonosak a másodfajú Lagrange-egyenletekkel.

Hamilton kanonikus egyenletei a legegyszerűbb esetben:

Írjuk fel a kinetikus és potenciális energia összegét, de úgy, hogy a qi és qi mennyiségek

helyett a qi és a hozzá tartozó (konjugált) impulzus, pi szerepeljen, akkor a H = H (q 1, q 2, … qf; p1, p2, … p f) Hamilton-kifejezést nyerjük, amely nem más, mint az általános hely- és impulzuskoordinátákkal kifejezett összenergia (4.2-17 ábra).

4.2.17 ábra.

A q1, q2, …, qf; p1, p2, …, pf koordinátatengelyek által kifeszített 2f dimenziójú teret fázistérnek hívják (4.5.11 fejezet). A rendszer állapotát ebben a térben egyetlen pont teljesen meghatározza. A pont megadásával ugyanis megadtuk a kezdeti feltételek teljes rendszerét: a rendszer helyét és a mozgásállapotát jellemző sebességértékeket. Így a pont mozgása, tehát a pálya is adott. Ha az erőhatást jellemző potenciál az időben állandó, akkor a rendszert jellemző pont egy az E = állandó egyenlettel meghatározott 2f–1 dimenziójú „szuperfelületen” mozog.

Mindezen kijelentések jól szemléltethetők egy egyszerű, de annál fontosabb rendszernél, a lineáris oszcillátornál; a viszonyok itt számszerűen is követhetők.

Mozogjon az m tömegű test súrlódás nélkül az x tengely mentén az F = –kx rugalmas erő hatására. A kinetikus energia (1/2) mv2 = (1/2)p2/m, a potenciális energia (1/2)kx2, így a Hamilton-függvény:

A mozgásegyenlet:

A rendszer frekvenciája:

A fázispont a (p, x) fázissíkban az

egyenlet által meghatározott ellipszisen mozog.

Ez a későbbiek számára fontos tény: Az ellipszis által körülzárt terület nagysága

A kvantumelméletben egy lineáris oszcillátor energiája csak a hn energiakvantum egész számú többszöröse lehet: E = nhn; így

vagyis az ellipszis területe kvantált. Ez a gondolatmenet vezetett az egyszerű Bohr-elmélet Bohr– Sommerfeld-féle általánosításához (5.3.5 fejezet).

Ha az oszcillátor „disszipatív”, vagyis energiát fogyaszt, akkor a sebességtől lineárisan függő csillapítás esetén exponenciálisan lecsengő mozgást kapunk. Állandó amplitúdójú rezgést ilyenkor csak egy (külső) gerjesztés segítségével kaphatunk.

Nem lineáris, disszipatív, külső gerjesztésű rendszereknél meglepő, új jelenségekkel találkozunk: a rendszer végállapota igen érzékeny a kezdeti feltételekre. Ez a végállapot lehet a nulla pont (a rendszer leállása), egy ciklikus pálya vagy a fázistér végtelen távoli pontja. De előállhatnak igen bonyolult, grafikusan pályagörbével nem is ábrázolható mozgási rendszerek: folyamatos görbe helyett sztochasztikusnak ható ponthalmazokat kapunk. Az ilyen rendszerek vizsgálata az utolsó évtizedekben az érdeklődés előterébe került és egy új tudományág, a káoszelmélet született.

A Hamilton-féle mozgásegyenletek:

A qi általános helykoordinátához konjugált pi impulzus definiáló egyenlete:

A Lagrange-egyenletek illusztrációjaként használt egyszerű esetet vesszük most is. Az energiát q = x, q˙ = x segítségével kifejezve

a Lagrange-függvény

a konjugált impulzus:

Az energia Hamilton-kifejezése

így most már felírhatjuk a mozgás Hamilton-egyenleteit

Mint látjuk, ebben a szimpla esetben az első Hamilton-egyenlet azonos a Newton-féle mozgásegyenlettel; a második pedig egyszerűen az impulzus definícióját adja.

A Hamilton-féle hatásfüggvényt a következőképpen definiáljuk:

Ez nem más, mint a Lagrange-függvény időintegrálja. S értékét a rendszer pályája mentén számoljuk és úgy tekintjük, mint az idő és a végpontok függvényét (qi most a q1,…, qf koordináták együttesét jelöli). Ez a függvény eleget tesz a

Hamilton–Jacobi-egyenletnek, fordítva: ezen egyenletből meghatározva az S (qi,t) függvényt, a mozgásegyenlethez jutunk.

A megoldást vegyük

alakban. Így a Hamilton–Jacobi-egyenlet az alábbi egyszerűbb alakot ölti:

minthogy

Rajzoljuk meg különböző időpillanatokra az S(qi,t)=constans felületeket a qi konfigurációs térben. Úgy tekinthetjük, mintha ezek a felületek meghatározott sebességgel haladnának. Ezen sebesség nagysága (a felület normálisa mentén):

Mindezen meggondolások jelentősége abban áll, hogy az optikában az inhomogén közegben terjedő hullámot a

függvény írja le. Így a Hamilton-féle hatásfüggvény a fényhullám fázisát leíró függvénnyel állítható analógiába. (Bruns 1895-ben írt optikájában az S = const. felületek az eikonál nevet kapták).

Ezzel Hamilton előkészítette azt az utat, amelyen Schrödinger a maga alapegyenletéhez eljutott (5.3.9 fejezet).

Poisson és Jacobi viszont azt vizsgálta, hogyan lehet áttérni új, kanonikusan konjugált változókra, tehát milyen feltételeknek kell eleget tenni a P = P (p, q); Q = Q (p, q) függvényeknek, hogy P és Q is eleget tegyen a Hamilton-egyenleteknek. A feltétel:

Az ezen egyenlet által definiált [P, Q] kifejezést hívják Poisson–Jacobi-féle zárójeles kifejezésnek. Azt is megállapították, hogy általában bármely F = F [p, q] függvény időbeli változását az

kifejezés adja. Amennyiben F explicit módon függ az időtől, ez az egyenlet a következő alakot ölti

Heisenberg, Jordan, Dirac és a kvantummechanika kiépítésében viszont ehhez az egyenlethez tudott közvetlenül csatlakozni.

A fizika kultúrtörténete a kezdetektől a huszadik század végéig

Tartalomjegyzék

Kiadó: Akadémiai Kiadó

Online megjelenés éve: 2020

ISBN: 978 963 454 490 6

Fizika Művelődéstörténet

A magyar természettudományos könyvkiadás talán legjelentősebb műve most először jelenik meg a legendás szerző által megalkotott teljességében. A 2001-ben elhunyt Simonyi Károly legutoljára egy német kiadás számára dolgozott könyvén, s az ekkor keletkezett szakaszok, amelyek a XX. század utolsó évtizedét is átfogják, csak most jutnak el a hazai olvasókhoz. A fizika kultúrtörténete az emberi gondolkodással egyidős tudományág fejlődését mutatja be a kezdetektől napjainkig. Az izgalmas történetet a fontos mérföldköveket jelentő kísérletek, elméletek és bizonyítások könnyen érthető leírásán túl a fizikával sokszor szorosan összefonódva kibontakozó egyetemes bölcselet és művészet alkotásaiból választott szemelvények illusztrálják. A könyv tanúsága szerint egy-egy jelentős természettudományos felismerés ugyanakkora teljesítmény és a civilizáció ugyanolyan ünnepe, mint a kultúra vagy művészet bármely közismert, nevezetes alkotása. Mindkettő egy tőről, az emberi zsenialitásból fakad. A mű népszerűségét éppen az adja, hogy befogadásához nem kell túlzottan sok fizikai ismeret, így mindenki, aki a kultúra értékei iránt fogékony, értékes olvasmányként forgathatja.

Hivatkozás: https://mersz.hu/simonyi-a-fizika-kulturtortenete//

BibTeX EndNote Mendeley Zotero