Középfokú tanulmányait Kolozsváron végezte, a piarista Katolikus Főgimnáziumban érettségizett 1901-ben. „Bezzeg én még ma sem tudom, hogy miként sodródtam a jogi pályára. Egy biztos, hogy eleinte zenész, s majd orvos akartam lenni, de hiányzott belőlem a lendület, az elszántság, hogy akaratomnak érvényt szerezzek. Igy cseppentem be a jogi pályára” – emlékezett vissza pályaválasztására.

A kolozsvári Ferenc József Tudományegyetem jogi karára iratkozott. Kitűnően tanult, minden vizsgája jeles, ezért 1907 márciusában sub auspiciis regis jogi doktorrá avatták. Gyakorlóévét a budapesti kereskedelmi és váltótörvényszék aljegyzőjeként töltötte. 1908-ban sikeres ügyvédi vizsgát tett, majd egyéves tanulmányútra ment Berlinbe, Drezdába és Hamburgba. Beszélt németül, franciául, angolul, latinul, olaszul. 1910-ben házasságot kötött a nemesi származású Szabó Valériával; két fiúgyermekük született, Dénes és József. 1911-ben habilitált a Ferenc József Tudományegyetemen a kereskedelmi és váltójog magántanáraként. 1913-ban az Igazságügyi Minisztérium törvény-előkészítő osztályán fogalmazó és a hiteljogi kodifikáció előadója. 1914-től a kereskedelmi és váltójog nyilvános rendkívüli tanára a kolozsvári egyetemen. Az első világháború idején, 1914–1915-ben részt vett a Kárpátokban folyó harcokban. 1916-ban rendes tanárrá nevezték ki. 1919. május 12-én román katonák szállták meg a kolozsvári Ferenc József Tudományegyetemet. Mivel Kuncz Ödön nem tett esküt a román államra, családjával az év végén Budapestre települt.

1920-tól 1928-ig a budapesti Királyi József Műegyetem közgazdaság-tudományi karának nyilvános rendes tanára. 1928-tól a Pázmány Péter Tudományegyetem jogi karán a kereskedelmi és váltójog nyilvános rendes tanára. 1933–1934-es és az 1943–1944-es tanévben a jog- és államtudományi kar dékánja volt. 1949-ban kényszernyugdíjazták. Kuncz Ödön az oktatást tartotta munkássága legfontosabb területének. 1954-ben fiának írt levelében önironikusan vallotta, hogy a jogi pálya „ügyvédi része (főleg a végrehajtás és árverés) megrémisztett és bírói szektora (főleg a járásbíróság léleknélküli nagyüzeme és a tehetséges bírák agyon dolgoztatása) kiábrándított. Nem is lettem »jogász«, hanem pedagógus: Tanár. Akit a jogban inkább a művészet, mint a mesterség érdekelt. Aki a száraz dogmatika unalmából az eleven élet üdülő helyeire menekült, s akiről a közgazdák azt mondták, hogy kitűnő jogász, a jogászok meg azt, hogy nagyszerű közgazda, s az ügyvédek, hogy született muzsikus vagyok, mert minden mondatomban csak úgy pattog a zenei ritmus.”

Több mint négy évtizedes pályáján az egyetemi oktatás mellett gazdag tudományos és ehhez kapcsolódó közéleti tevékenységet folytatott. Az igazságügy-miniszter és a pénzügyminiszter megbízásából több törvény előkészítésében fontos szerepet játszott: ő állította össze 1913–1914-ben az új váltótörvény-javaslat indoklását, 1917-ben a részvénytársaságokról szóló törvény tervezetét, 1921-ben az új kereskedelmi törvény novellájának tervezetét. 1928-tól a korlátolt felelősségű és a csendes társaságok kodifikációs feladatait végezte az 1930. évi V. törvénycikknek az elfogadásáig. Ezeken kívül még jó néhány törvénytervezet (pl. vagyonváltság, tisztességtelen verseny) kidolgozását segítette.

Tudományos tevékenységében a kereskedelmi és váltójogi szakterület vizsgálata állt az első helyen. Alapvető műveket alkotott, A magyar kereskedelmi és váltójog vázlata és A magyar kereskedelmi és váltójog tankönyve című munkája több kiadást megért. Sokat foglalkozott a szövetkezeti jog, a versenyjog, a biztosítási jog egyes témáival és fontos közgazdasági kérdésekkel. Szladits Károly Magyar magánjog című, hatkötetes munkájában a IV. kötet (Kötelmi jog különös része) VIII. fejezetének (Kötelmek személy és vagyonkapcsolatokból) megírásával vett részt.

Kuncz Ödön rendkívül sokat publikált a Kereskedelmi Jog, a Jogállam, a Jogtudományi Közlöny, a Magyar Jogélet, az Igazságügyi Javaslatok Tára, az Ügyvédek Lapja, a Magyar Jogi Szemle, a Magyar Jogászegyleti Értekezések, a Magyar Pénzügy, a Pénzintézeti Szemle, a Pénzvilág, a Közgazdasági Szemle, a Közgazdaság és Közművelődés, a Biztosítási és Közgazdasági lapok, a Magyar Gazdák Szemléje, a Magyar Nemzetgazda, a Szövetkezeti Szemle, a Magyar Szövetkezés, a Városi Szemle és más folyóiratokban. Tudományos dolgozatait német, angol és francia nyelven több külföldi folyóirat közölte. Mindezek mellett 1918-tól 10 évig a Kereskedelmi Jog című szakfolyóirat szerkesztője, 1929-től 1944-ig főszerkesztője, s egy ideig a Gazdasági Jog főszerkesztői, továbbá a Magyar Szövetkezés és a Hites Könyvvizsgáló című folyóiratok szerkesztőbizottságának elnöki feladatait is ellátta. Szakegyesületek működésében is aktívan közreműködött. Ellátta a Magyar Jogászegylet Gazdaságjogi Intézetének igazgatói és Hiteljogi szakosztályának elnöki, 1925-től az Iparjogvédelmi Egyesület alelnöki, 1935-től 1939-ig társelnöki, a Magyarországi Szövetkezetek Szövetségének alelnöki, a Hites Könyvvizsgálókat Vizsgáztató Bizottság ügyvezető társelnöki tisztségét. Tagja volt a Magyar Közgazdasági Társaság választmányának és a Biztosítási Szaktanácsnak is. Gazdag nyelv- és szaktudása révén jó kapcsolatokat ápolt több nyugat-európai országgal. Elnöke volt a Német–Magyar Kereskedelmi Kamara Választott Bíróságának és főtitkára a Szövetkezeti Gazdálkodás Nemzetközi Intézetének (Institut International d’ Études Cooperatives).

A jogász–közgazdász egyetemi tanár a magánjogi törvénykönyv előkészítéséért kormányzói elismerésben, 1940-ben oktatói és tudományos munkásságáért pedig a Magyar Érdemrend középkeresztje kitüntetésben részesült.

Tudományos munkásságáért 1930. május 8-án a Magyar Tudományos Akadémia közgyűlése levelező taggá választotta. 1949. október végén, a kommunista hatalomátvétel után, az akadémiai tisztogatás során megfosztják címétől, tanácskozó taggá minősítették. Levelező tagságát 1989 májusában posztumusz állították helyre.

1965. március 19-én hunyt el Budapesten. A Farkasréti temetőben helyezték végső nyugalomba. Tudósi és emberi hitvallását így fogalmazta meg: „A társadalom emberséges és igazságos rendje nélkül nem érdemes embernek lenni. Ezt a rendet pedig nekünk jogászoknak kell megteremteni és megvédelmezni.’’