Ugyanakkor, egy mondat sok információt közvetít. Amikor egy mondattal állítunk valamit, nem a mondat teljes információs tartalmát állítjuk, csak azt az információt, amit az információs bázis még nem tartalmaz. Az az információ, amit már tartalmaz az információs bázis, előfeltételezve (preszupponálva) van. A 60-as évektől kezdve megfigyelték, hogy bizonyos típusú információ rendszeresen előfeltételezve van, pl. az úgynevezett faktív igék komplementuma (Kiparsky– Kiparsky 1970). Az ilyen preszuppozíciós kifejezések az elmélet szerint követelményt támasztanak a kontextussal szemben, mégpedig azt, hogy a kontextus már tartalmazza a preszupponált információt. Ezt a speciális követelményt támasztó jelentéstartalmat pedig önálló jelentéstípusként kezdték kezelni, vagyis megkülönböztetik egy mondat jelentésének sima következményét (entailment) az előfeltételezett következménytől.

A két jelentéstípus megkülönböztetéséből adódik a preszuppozíciókkal kapcsolatos alapvető kérdés: egy mondat által közvetített teljes információnak melyik részét állítjuk, és melyik részét (részeit) előfeltételezzük? Ez az úgynevezett „triggering problem”, vagyis az a kérdés, hogy miért lesz bizonyos információból előfeltevés, hogyan keletkeznek a preszuppozíciók.

A hagyományos válasz az ún. faktív igék esetében az, hogy ez előre kódolva van a szótárban: a faktív igék komplementuma előfeltételezve van, a többi információt pedig állítjuk. Vagyis a faktivitás önkényes tény, nem vezethető le semmi másból. De ezzel a válasszal sok probléma van (l. Levinson 1983; Simons 2001; Abrusán 2011; Schlenker 2021). Egyrészt, ha a faktivitás önkényes lexikális tény, nem világos, hogy különböző nyelveket vizsgálva miért látunk szabályszerűségeket arra, hogy mely igék faktívak? (Levinson–Annamalai 1992; Tonhauser et al. 2013). Másrészt, a faktív preszuppozíciók akkor is megmaradnak, ha átfogalmazzuk a mondatot, körülírjuk az igét (vö. Simons 2001), vagy akár csak gesztusokkal demonstráljuk (vö. Schlenker 2021). Ezek a megfigyelések azt motiválják, hogy keressünk a faktivitásra valamilyen magyarázatot.

Az előfeltevések meglepő tulajdonsága, hogy nem érzékenyek a következményt megszüntető operátorokra, mint például a tagadás. Vagyis, ha egy előfeltevést tartalmazó mondat pl. a negáció hatókörébe kerül, a tagadás nem érinti az előfeltevést, másképpen mondva, az előfeltevés „projektál”. Faktívok esetében ez azt jelenti, hogy a komplementum igazsága akkor is levonható a mondatból, ha a mondat tagadva van.

A hagyományos megközelítése az előfeltevések projekciójának a következő (Karttunen 1974; Heim 1983). Kiindulópontként tegyük fel, hogy kétféle jelentés van: preszupponált (vagyis előfeltételezett) és nem preszupponált. E kétféle jelentés különbözőképpen reagál arra, ha következményt megszüntető operátorok hatókörébe kerül: a normális jelentés az elvárt módon viselkedik (vagyis pl. tagadva van), az előfeltételezett (preszupponált) jelentés viszont speciális szabályokat követ ebben a helyzetben: ezek a szabályok az ún. projekciós szabályok. A negációra vonatkozó előfeltevés-projekciós szabály pl. az, hogy a negáció nem érinti a preszuppozíciót. (Más operátorok esetében a szabály ennél lehet bonyolultabb is.)

Azonban ezzel a nézettel is sok gond van: Egyrészt a preszuppozíciók projekciója erősen kontextusérzékeny, még a hagyományosan preszuppozíciós predikátumok esetében is. Ezt mutatják például az előző részben vázolt megfigyelések a fókusz és a faktivitás kapcsolatáról. Másrészt, nem lehet kategorikusan elkülöníteni az előfeltételezett jelentést a nem előfeltételezett jelentéstől: Például a különböző igék komplementumai többé-kevésbé faktív profilt mutatnak és projekció szempontjából egy skálán helyezkednek el (vö. Tonhauser et al. 2018), nem lehet világos határt húzni faktív és nem faktív igék közé. Harmadrészt, nem minden esetben igaz, hogy a projektáló információnak már előfeltételezve kell lennie a diskurzusban, a preszuppozíciós elemek között nagy a változatosság ezzel a követelménnyel kapcsolatban (Tonhauser 2015; Spenader 2002). Ennek a problémának a másik arca, hogy amikor egy preszuppozíció nincs előfeltételezve a kontextusban, ez mennyire vezet kommunikációs katasztrófához. Bizonyos preszuppozíciós elemek esetén ez a helyzet komolyabb problémához vezet, más elemek esetében – ide tartoznak a faktívok is – ez nem okoz fennakadást, a beszélők könnyen beillesztik a kontextusba az előfeltételezett információt (l. Abrusán 2022-t a különféle típusú preszuppozíciókkal kapcsolatban). Bár a preszuppozíciók utólagos hozzáadása a kontextushoz (accommodation) nem feltétlen probléma a hagyományos elmélet számára (l. pl. Stalnaker 1974; von Fintel 2008), az nem világos, hogy miből adódnak az egyes kifejezések közötti különbségek.